О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

курсовая работа

3. Используемые результаты

Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.

  • Лемма 1 [1]. Пусть F=MH, где M и H - формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо p(M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), где f(p)=m(p)H и f(p)=m(p)H, если p(M), f(p)=h(p), если p(M).
  • Следствием теоремы 1.2.25 [3] является следующая
  • Лемма 2 [3]. Пусть X - полуформация и AF=formX. Тогда если A - монолитическая группа и AX, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1?…? Nt=1; (3) H/Ni - монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1?…? Mt M.
  • Лемма 3 [2]. Пусть M и N - нормальные подгруппы группы G, причем MCG(N). Тогда [N](G/M)formG.
  • Лемма 4 [9]. Пусть F - произвольная щ-насыщенная не -разложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация.
  • Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является
  • Лемма 5. Пусть F, M, X и H - щ-насыщенные формации, причем F=MVщX. Тогда если m, r и t соответственно Hщ-дефекты формаций M, X и F и m, r<, то t m+r.
  • Лемма 6 [1]. Решетка всех щ-насыщенных формаций lщ модулярна.
  • Лемма 7 [1]. Если F=lщformX и f - минимальный щ-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f(щ ) = form(G/Gщd | GX); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все pщ; 3) если F=LFщ(h) и p - некоторый фиксированный элемент из щ, то F=LFщ(f1), где f1(a)=h(a) для всех a(щ{p}){щ}, f1(p)=form(G | Gh(p)? F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFщ(G), где g(щ)=F и g(p)=f(p) для всех pщ.
  • Лемма 8 [1]. Пусть fi - такой внутренний щ-локальный спутник формации Fi, что fi(щ)=Fi, где iI. Тогда F=F1VщF2=LFщ(f), где f=f1V f2.
  • Лемма 9 [10]. Тогда и только тогда F - минимальная щ-насыщенная не -разложимая формация, когда F=lщformG, где G - такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом P, что (G)?=Ш и либо =(P)?щ=Ш и P совпадает с -разложимым корадикалом группы G, либо Ш и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если , то G/P - -группа, если ={p}, то G/P - p-группа, если же ?щШ и ||>1, то G=P - простая неабелева группа; 2) G - группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) - минимальная нормальная подгруппа группы G, H - простая неабелева группа, причем ?(H)=Ш.
  • Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M - некоторая полуформация и AformM. Тогда A M.
  • Лемма 11 [1]. Если формации M и H являются щ-насыщенными, то формация F=MH также является щ-насыщенной.
  • Лемма 12 [1]. Пусть F - щ-насыщенная формация и f - ее щ-локальный спутник. Если G/Op(G)f(p)?F, то GF.
  • Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].
  • Лемма 13. Пусть M, F и H - щ-насыщенная формации и MF. Тогда |M:M?H|щ|F:F?H |щ.
  • Лемма 14 [3]. Пусть F - произвольная непустая формация и пусть у каждой группы GX F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A - монолитическая группа из form XF, то AH(X).

  • Делись добром ;)