§5. Формула полной вероятности
Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события .
Теорема. Вероятность события , которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события .
Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.
Доказательство. Т.к. события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде следующей суммы:
Т.к. события несовместны, то и события тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
При этом
Окончательно получаем: Теорема доказана.
Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна , для второго - , для третьего - . Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.
Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна .
Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:
- для первого стрелка:
- для второго стрелка:
- для третьего стрелка:
Искомая вероятность равна:
- Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- 41.Формула полной вероятности, формула Байеса
- 9.Формула полной вероятности и формула Байеса
- 39. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса).
- 6.Формула полной вероятности. Формула Байеса
- 39. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса).
- 5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности.
- Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- 1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса