2. Действия над последовательностями

Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы обсуждали при изучении обычных функций.

Определение. Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого  n > 1  верно неравенство  a_n > a_{n – 1}.

Аналогично дается определение убывающей числовой последовательности. Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательность  a₁,  a₂,  …  можно изобразить «графиком», который будет состоять из отдельных точек координатной плоскости.

Так же, как и для обычных функций, по графику можно судить о различных свойствах последовательностей. Возрастающие и убывающие последовательности изображаются точками, лежащими на графиках монотонных функций.

Определение. Последовательность  a₁,  a₂,  a₃,  … называется ограниченной, если для ее такое число  С,  что неравенство  |a_n| C  выполняется для всех номеров  n.

Если последовательность является возрастающей, то для ее ограниченности достаточно найти число  С  такое, что  a_n C  при всех  n.  Наоборот, для ограниченности убывающей последовательности достаточно проверить неравенство вида  a_n C,  которое должно выполняться для всех  n.  Вообще, если для всех членов последовательности выполняется неравенство  a_n C  (a_n C),  то говорят, что она ограничена сверху (снизу). Если мы говорим об ограниченной последовательности, то ясно, что она ограничена как сверху, так и снизу. Так же, как над произвольными функциями (заданными на одном и том же множестве), над последовательностями можно производить арифметические операции: сложение (вычитание) и умножение (деление).

Суммой двух последовательностей  a₁,  a₂,  a₃,  … и  b₁,  b₂,  b₃,  … называется последовательность  c₁,  c₂,  c₃,  …,  образованная суммами соответствующих членов:  c₁ = a₁ + b₁,  c₂ = a₂ + b₂,  c₃ = a₃ + b₃,  … .

Аналогично перемножаются две последовательности:  d₁ = a₁ b₁,  d₂ = a₂ b₂,  d₃ = a₃ b₃,  … . Если последовательность  b₁,  b₂,  …  постоянна, т. е. если  b_n = b  для любого  n,  то произведение последовательностей  a₁,  a₂,  … и  b₁,  b₂,  … выглядит так:  ba₁,  ba₂,  …  и называется произведением постоянного числа  b  на последовательность  a₁,  a₂,  … .

Примеры 1.  1,  4,  9,  16,  …,  a_n = n². Эта последовательность является возрастающей (аналогично тому, что функция  y = x²  возрастает при  x 0).  Она не является ограниченной, так как  n²  может стать сколь угодно большим.

2. 1,

Эта последовательность является убывающей:  1 > что аналогично убыванию функции     для  x > 0. 

Последовательность     является ограниченной:  |a_n| 1.  Разумеется, так как эта последовательность убывает, то каждый ее член меньше первого:  a_n a₁ = 1.  Важно то, что она ограничена снизу:  a_n > 0.

3. a_n  – n-ое  десятичное приближение с недостатком к числу    Эта последовательность возрастает и ограничена:   a_n <

С каждой последовательностью  a₁,  a₂,  a₃,  … можно связать две новых последовательности.

Последовательность сумм s₁ = a₁ s₂ = a₁ + a₂ s₃ = a₁ + a₂ + a₃  и т. д. Последовательность сумм можно определить рекуррентно: s₁ = a₁;  s_n = s_{n – 1} + a_n.

Последовательность разностей c₁ = a₂ – a₁, c₂ = a₃ – a₂, c₃ = a₄ – a₃  и т. д.

Построим последовательности разностей для нескольких примеров.

1. a_n:  1,  2,  3,  4,  …  a_n = n     c_n:  1,  1,  1,  …       c_n = 1

2. a_n:  1,  3,  5,  7,  …  a_n = 2n – 1     c_n:  2,  2,  2,  …       c_n = 2

3. a_n:   1,  2,  2²,  2³,  …  a_n = 2^{n – 1}     c_n:  1,  2,  4,  …           c_n = 2^{n – 1}

4. a_n:  1,  2²,  3²,  4²,  …  a_n = n²     c_n:  3,  5,  7,  …            c_n = 2n + 1

5. a_n:  1,  1,  2,  3,  5,  8,  …  a_n – числа Фибоначчи     c_n:  0,  1,  1,  2,  3,  …       c_n  те же числа со сдвинутым номером

6. a_n:  1,  2³,  3³,  …   a_n = n³     c_n:  7,  19,  37,  …  c_n = (n + 1)³ – n³ = 3n² + 3n + 1

Рассматривая эти примеры, можно заметить несколько закономерностей. Если общий член последовательности записывается многочленом от  n,  то степень общего члена разностей будет на единицу меньшей. В примерах  1  и  2  член  a_n  линейно зависит от  n,  в примере  4  квадратично, в примере  6 – зависимость кубическая. Соответствующие последовательности разностей постоянны (степень  0), линейны или квадратичны. В последовательности  3  общий член задан показательной функцией. Общий член последовательностей разностей имеет тот же вид. Аналогичные наблюдения можно сделать и для последовательности чисел Фибоначчи. Оказывается, что имеется общий закон – если последовательность задается как показательная функция от  n,  то последовательность разностей будет пропорциональна той же показательной функции. Построение последовательности разностей и ее свойства являются дискретным аналогом вычисления производной. Аналогично суммирование последовательности аналогично другой операции математического анализа – интегрированию.

16)Предел последовательности

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.

Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.^[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.

Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.