Комбинаторные формулы

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его Un. Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве Un.

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множестве Un? Число перестановок обозначается Pn (читается Р из n).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы Un в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно n-1 способом заполнить вторую ячейку (иначе: при каждом способе заполнения первой ячейки находится n-1 способов заполнения второй ячейки). Таким образом существует n(n-1) способов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n- 2 способов заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно n n - 1 n - 2 ...3 × 2 × 1. Отсюда

Pn = n(n - 1)(n - 2)...×3×2×1

Число n(n - 1)(n - 2)...×3×2×1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется "n-факториал" и обозначается n!. Отсюда Pn =n!

Пример. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 = 120 .

По определению считается: 1!=1; 0!=1.

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества Un - (множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается Ank (читается "А из n по k").

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета

1)Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

2)Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

Взадачах о размещениях полагается k<n. В случае, если k=n, то легко получить

Ank = Pn = n!

Для подсчета Ank используем тот же метод, что использовался для подсчета Pn ,только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n-1 способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k-й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k-1 ячейках можно заполнить n-(k-1) способами (или n-k+1). Таким образом все k ячеек заполняются числом способов, равным