Применение теоремы Гаусса
Являясь (вкупе с уравнением о нулевой циркуляции электрического поля) основным полевым уравнением электростатики (вместе эти два уравнения в дифференциальной форме эквивалентны уравнению Пуассона — основному и единственному дифференциальному уравнению классической теории для электростатического потенциала.
В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остается (полностью в том же виде) одним из главных уравнений — одним из четырех уравнений Максвелла.
В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и легкого вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия задачи позволяет наложить на напряженность электрического поля такие дополнительные условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных точечных зарядов).
Именно таким способом с использованием теоремы Гаусса может быть выведен и сам закон Кулона (см. выше).
Конкретные примеры такого применения теоремы Гаусса разобраны здесь ниже.
В них используются следующие величины и обозначения:
Объёмная плотность заряда
где dV — (бесконечно малый) элемент объема,
Поверхностная плотность заряда
где dS — (бесконечно малый) элемент поверхности.
Линейная плотность заряда
где dl — длина бесконечно малого отрезка. (Первая используется для зарядов, непрерывно распределенных по объему, вторая — для распределенных по поверхности, третья — для распределенных по одномерной линии (кривой, прямой).