7. Повторення досліджень. Теорема Бернуллі

Нехай проводиться кілька випробувань, у результаті яких може з'явитися подія А з певною ймовірністю. Якщо ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від інших випробувань, то такі випробування ми раніше визначили як незалежними щодо події А.

Поставимо наступну задачу – визначити ймовірність того, що в результаті проведення n незалежних випробувань деяка подія А наступить рівно k разів, якщо в кожному із цих випробувань дана подія наступає з постійною ймовірністю Р(А)=р.

Шукану ймовірність будемо позначати Р_k;n „. Наприклад, символ Р₄,₁₀ означає, що в десяти випробуваннях подія А з'явиться рівно 4 рази.

Безпосереднє застосування теорем додавання й множення ймовірностей для рішення поставленої задачі зі збільшенням числа випробувань приводить до дуже громіздких обчислень. Тому виникає необхідність застосування менш трудомістких способів розрахунку.

Один з таких способів заснований на застосуванні формули Бернуллі. Припустимо, що в однакових умовах проводиться п незалежних випробувань, після кожного з яких може бути настання або події А з імовірністю Р(А) = р, або йому протилежна подія з імовірністю

.

Позначимо через А_i (i=1, 2, .... n) настання події А в i-му випробуванні.

Нас цікавить імовірність того, що подія А при n випробуваннях наступає рівно k разів, а в інших, що залишилися n–k випробуваннях наступить їй протилежна подія . При цьому подія А в п випробуваннях може з'явитися рівно k раз у різних послідовностях або комбінаціях, число яких дорівнює числу комбінацій з n елементів по k, тобто С_n(k).

Оскільки всі комбінації подій у даній задачі, є несумісними подіями і нам байдуже, у якій саме послідовності з'явиться подія А та в якій послідовності з'явиться протилежна їй подія, то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей для несумісних подій, одержимо формулу для визначення ймовірності події, що повторюється n раз і в k випадках має місце дана подія А.

Дана формула називається формулою Бернуллі.

Якщо кількість випробувань дуже велика (n>10), то застосування такої формули приводить до дуже громіздких розрахунків. В таких випадках використовують теореми Муавра – Лапласа та формулу Пуассона.

Локальна теорема Муавра-Лапласа використовується при наближеному обчисленні ймовірності Р_п (k) (тим точніше, чим більше п) в схемі Бернуллі:

,

де – функція нормального розподілу Пуассона, значення якої можна знайти за допомогою таблиці. Змінну х шукають за такою формулою:

Дана функція  (х) має такі властивості:

1) функція парна, тобто (- х) =  (х),

2) функція спадна і при х > 3,99  (х) = 0.

Таким чином, на практиці локальна теорема Муавра-Лапласа використовується таким чином: спочатку шукають х, потім за допомогою таблиці розподілу Пуассона шукають  (х), а далі за формулою визначають Р_п (k)

При досить великому п і малому р {р < 0,01) застосовується формула Пуассона:

, де

Інтегральна теорема Лапласа використовується при наближеному обчисленні ймовірності того, що в n випробуваннях подія А відбудеться не менше k₁, і не більше k₂ разів. Формула визначення такої ймовірності:

де Ф(х)=– функція Лапласа, значення якої задано таблицею.

Функція Ф(х) має такі властивості:

1) Ф(х) визначена для всіх х на множині дійсних чисел,

2) Ф(х) є зростаючою функцією,

3) Ф(х) є непарною, тобто Ф(–х)=–Ф(х),

4) для всіх х> 5 маємо Ф(х)=0,5.

МОДУЛЬ 2. ТЕОРІЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ