Задача достижения нечетко определенной цели

Рассмотрим задачу достижения нечеткой цели.

При решении данной задачи будем исходить из предположения, что цели принятия решений и множество возможных альтернатив можно рассматривать как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив.

Пусть Х – универсальное множество альтернатив, G - нечетко определенная цель.

Нечеткая цель описывается функцией принадлежности μG:Х→[0,1].

Поставим в соответствие множеству Х числовую ось, т.е. отобразим его на числовую ось. Тогда нечеткую цель удобно представить в виде нечеткого множества, например: величина х должна быть примерно равна 7.

Ясно, что чем больше степень принадлежности альтернативы х множеству нечетких целей, т.е. чем больше значение μG(х), тем больше степень достижения этой цели при выборе альтернативы х в качестве искомого решения.

Множество допустимых альтернатив выступает в качестве множества ограничений, накладываемых на искомое решение. В нашем случае нечеткое множество альтернатив может иметь, например, такой вид: х не должно быть намного больше 15. При этом полагаем, что все приведенные понятия в примере описываются функциями принадлежности соответствующих нечетких множеств.

Пусть некоторая альтернатива х обеспечивает достижение цели со степенью μG(х) и удовлетворяет ограничениям со степенью μс(х). Тогда в качестве искомого решения задачи примем min(μG(х), μc(х)).

Таким образом, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели является пересечение нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функции принадлежности решений μG(х):

μD(х) = min(μG(х), μc(х)).

При наличии нескольких целей и нескольких ограничений нечеткое решение определяется функцией принадлежности:

μD(х) = min(μG1(х), μG2(х), … μGк(х), μc1(х), μc2(х)),…, μcm(х)).

Задачу выбора наилучшей альтернативы при нечеткой исходной информации можно сформулировать также выбор альтернативы, имеющей максимальную степень принадлежности нечеткому решению, т.е. альтернативы, удовлетворяющей условию

max xЄX μD(х) = max xЄX min(μG(х), μc(х)).

Рассмотренную задачу можно обобщить. В общем случае, постановка задачи может быть сформулирована следующим образом.

Пусть, как и выше, Х –множество альтернатив и пусть задано однозначное отображение F: X→Y. Элементами множества Y являются, например, показатели качества системы. Нечеткая цель при этом будет задаваться нечетким множеством оценок Y, т.е. функцией μG: Y→[0,1].

Определив множество альтернатив, обеспечивающих достижение заданной цели μс как μG (это множество является отображением нечеткого множества μG(х): μG(х)= μG(F(х)), xЄX), мы сведем данную задачу к рассмотренной выше.

При выборе формального языка описания процесса принятия решений принимают во внимание его достоинства и недостатки.

Основное преимущество представления информации в сложной иерархической системе в виде нечетких множеств заключается в том, что удается использовать информацию, заданную не в числовой форме. Вывод, в основе которого лежит понятие нечеткого множества, не ограничен законами традиционной логики. Поэтому появляется возможность расширить рамки данной логики. В нечеткой логике допускается присвоение как исходным данным, так и полученному решению, значений, лежащих между истиной и ложью, между да и нет.

Методы теории нечетких множеств во многих отношениях проще методов теории вероятностей вследствие того, что понятие функции принадлежности является более простым, чем понятие вероятностной меры. По этой причине даже в тех случаях, когда неопределенность при принятии решения может быть выражена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать с ней как с элементами нечеткого множества.

Лекция 17