4. Формули повної ймовірності та Байєса Теоретичні положення

Нехай виконується випробування, у якому подія А може відбутися з однією із подій , які утворюють повну групу подій, тобтоіØ.Подій , з якими може відбутися подія А назвемо гіпотезами.

Припустимо, що ймовірності гіпотез відомі (або легко знаходяться) і дорівнюють, а також відомі (або легко знаходяться) умовні ймовірностіпояви подіїв умовах події.Треба знайти ймовірність події, тобто.

Враховуючи співвідношення

і те, що доданки в останній сумі попарно несумісні, оскільки Ø = Ø, отримаємо:

Отже, ми дістали формулу повної ймовірності:

(1)

за якою ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей всіх гіпотез , помножених на умовні ймовірностіподіїв умовах події .

Нехай, наприклад, маємо дві корзини з трояндами. У першій корзині 20 троянд, серед яких 4 білих і 16 червоних, а в другій – 10 троянд, серед яких 3 білих і 7 жовтих. З цих двох корзин навмання вибирається одна, а потім з цієї корзини навмання вибирається троянда. Знайти ймовірність того, що вибрана троянда буде біла.

Щоб розв’язати цю задачу можна скористатися формулу повної ймовірності (1). При цьому потрібно врахувати, що тут у нас буде дві гіпотези. Тобто позначимо подію = {вибрана і-а корзина} і А = {вибрана троянда білого кольору}.

Ймовірність вибрати будь-яку з двох корзин однакова і дорівнює 0,5, тобто Ймовірність вийняти будь-яку троянду з першої корзини однакова. Це означає, що для знаходження цієї ймовірності можна скористатися її класичним визначенням. На підставі цьогоАналогічно обчислимоТоді за формулою повної ймовірності одержимо:

Тут варто зробити зауваження щодо неможливості використання тільки класичного визначення ймовірності для розв’язування цієї задачі. Може прийти думка, що шукану ймовірність можна знайти за цим визначенням, якщо поставити всі наявні троянди в одну корзину. Тобто як відношення кількості білих (7) до всіх троянд (30). Однак це не так. Причина у тому, що тоді елементарні події, кожна з яких полягає у виборі відповідної троянди не будуть рівноможливими. Тому без використання формули повної ймовірності тут не обійтись.

При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей часто доводиться розглядати дещо подібну до попередньої задачу: тобто подія А може відбутися з однією із подій , які утворюють повну групу. Відомі (або легко знаходяться) ймовірності гіпотезі дорівнюють, відомі також (або легко знаходяться) умовні ймовірності.

Нехай випробування виконано і подія А мала місце. Треба знайти ймовірність того, що при цьому мала місце гіпотеза , тобто ймовірність.

З формули ймовірності добутку подій одержимо дві такі формули: і. Знайдемоз першої із цих формул і замість ймовірності добуткупідставимо його значення з другої із цих формул. Внаслідок цих дій одержимо

.

Тепер використаємо формулу повної ймовірності (1). В результаті одержимо формулу Байєса:

(2)

Отже, ймовірність гіпотези після випробування, при якому мала місце подія А, дорівнює ймовірності цієї гіпотези до випробування, помноженій на умовну ймовірність події А за цією гіпотезою і поділеній на повну ймовірність події А.

Формулу (2) ще називають формулою переоцінки ймовірностей гіпотез.

Нехай, наприклад, в умовах попередньої задачі відомо, що вийнята троянда білого кольору. Потрібно знайти ймовірність того, що вона вийнята з першої корзини.

Виходячи з умови задачі і використовуючи аналогічні як і в попередній задачі позначення, знайдемо ймовірність за формулою (2).