logo
Лекции по инж

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться и скрещиваться.

П араллельные прямые

Рис. 19

Исходя из одного из инвариантных свойств ортогонального проецирования: их одноименные проекции параллельны между собой. если прямая АВ параллельна прямой , то, образуя вместе со своими проекциями плоскости перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций, они дадут ав параллельно сd (рис. 19)

Параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Пересекающиеся прямые

Если прямые пересекаются, то они имеют одну общую точку (рис.20).

Исходя из одного из инвариантных свойств ортогонального проецирования, если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции пересекаются в точках, лежащих на одном перпендикуляре к оси (на одной проекционной линии связи их разделяющей). Это положение безусловно только для прямых общего положения.

Рис. 20

Т.к. прямые пересекаются, то точка К – общая для двух прямых, а исходя из свойства принадлежности точки прямой, проекции точки должны лежать на одном перпендикуляре к оси.

Скрещивающиеся прямые

Такие прямые не параллельны и не пересекаются между собой.

Рис. 21

Проекции таких прямых могут пересекаться, но точки пересечения проекций не находятся на одном перпендикуляре к оси (рис. 21).

Точки пересечения проекций у скрещивающихся прямых называются конкурирующими. В действительности конкурирующие точки принадлежат разным прямым.

Конкурирующие точки дают возможность судить о положении прямых друг относительно друга в пространстве, а именно используются для определения видимости ребер гранных геометрических тел ( призм, пирамид ) на отдельных плоскостях проекций. Каждая проекция представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит первой прямой, а другая – второй.

О пределение видимости гранного тела

Рис. 22 Рис.23

На рисунке 22 с помощью конкурирующих точек определена видимость граней треугольной призмы. Точки 1 и 2, принадлежащие соответственно ребрам AB и SC служат для определения видимости на фронтальной плоскости проекций. Обозначив их на фронтальной проекции ребер, находятся их горизонтальные проекции. Точка 2, принадлежащая ребру AB имеет большую угрековую координату нежели точка, следовательно находится ближе к наблюдателю и вместе с ней и ребро AB – ребро AB на фронтальной плоскости видимо. Другая пара конкурирующих точек 3 и 4 служит для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций. Точка 4, принадлежащая ребру SC, находится выше точки 3 (у нее больше координата Z чем у точки 3 ), следовательно ребро SC на горизонтальной плоскости видимо.

Проецирование плоских углов

В общем случае плоский угол ни на одну из плоскостей проекций не будет проецироваться без искажения.

Любой плоский угол проецируется в натуральную величину, если обе его стороны параллельны какой-либо плоскости проекций (АВС угол лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций) (рис.23). Одно из инвариантных свойств ортогонального проецирования утверждает, что прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.

Имеется несколько способов доказательства данного положения. Возьмем, пожалуй, самый простой. Прямой угол АВС расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости H, тогда угол abc – прямой. Возьмем на перпендикуляре Aa любую точку D и соединим ее с точкой В. Угол DBC = 900 , т.к. ВС перпендикулярен плоскости ABba. Проекции углов АВС и DBC совпадают, т.к. точки А и D находятся на одном перпендикуляре к плоскости H, т.о. < abc = < dbc = 900.

Комплексный чертеж угла, одна из сторон которого ( АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций) дан на рисунке 23.

Плоскость

Способы задания плоскостей

Плоскостью является простейшая поверхность. Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками А, В, С, не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на эпюре Монжа (комплексном чертеже), (рис. 24 ) достаточно указать проекции:

  1. трех различных, не принадлежащих одной прямой точек (рис. 24 а ),

  2. прямой и не принадлежащей ей точки (рис. 24 б ),

  3. двух параллельнымых прямых (рис. 24 в),

  4. двух пересекающихся прямых (рис. 24 г),

  5. проекциями любой плоской фигуры ( рис. 24 д).

Все эти способы задания плоскости равноценны. Нетрудно, имея одну комбинацию элементов перейти к любой другой.

Например, проведя через точки А и В прямую, получим задание плоскости прямой и точкой. От него можно перейти к двум последующим или к последнему – быть заданной на чертеже любой плоской фигурой( треугольником, четырехугольником, кругом и т. д.).

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта

а б в

Рис.24

г д

Рис. 25 Рис. 26

пересекает плоскость проекций.

Такой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами. На рисунке 25 показана плоскость Q. Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости:

QH – горизонтальный след плоскости Q,

QV - фронтальный след плоскости Q,

Q W – профильный след плоскости Q.

Точки пересечения плоскости с осями проекций (Qx , Qy ,Qz ) называются точками схода следов.

Чтобы построить след плоскости, необходимо построить одноименные следы двух прямых, лежащих в этой плоскости (рис 26).

Сопоставляя между собой наглядное изображение ( рис.25) и его плоскостную модель – эпюр Монжа (рис. 26), мы видим, что задание плоскости следами обладает преимуществом перед другими вариантами. Ее изображение на эпюре:

во-первых, сохраняет наглядность изображения, что позволяет легко представить положение плоскости в пространстве;

во-вторых – при задании плоскости следами требуется указать только две прямые вместо четырех (рис. 24 в , 24г ), или шести (рис. 24д ).

Показанная на рисунке 25 и 26 плоскость Q, занимает общее (произвольное) положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций – произвольные, но отличные от 0 и 900). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На рис 26 видно, что на эпюре Монжа следы плоскости общего положения составляют с осью проекции также произвольные углы. Угол между следами плоскости на эпюре не равен углу, образованному ими в пространстве. Действительно, в точке схода следов находится вершина трехгранного угла, две грани которого совпадают с плоскостями проекций. Сумма двух плоских углов данного трехгранного угла больше третьего плоского угла.

Частные случаи расположения плоскостей

Кроме рассмотренного общего случая, плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие частные положения:

  1. перпендикулярное к плоскости проекции,

  2. параллельное плоскости проекции.

Плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими. При этом плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (рис.45), плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующей (рис. 27).

Рисунки 27 и 28 дают наглядное представление о проецирующих плоскостях и их задании на эпюре Монжа, причем одна и та же горизонтально-проецирующая плоскость Q задана следами и треугольником (рис. 45), и фронтально-проецирую Р – следами и треугольником ВСК (рис. 46).

На ту плоскость проекций, к которой плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую линию. Эту проекцию можно рассматривать и как

Рис. 27

с лед плоскости. Кроме того, на эту плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Рис. 28

Рис.29

П лоскости, параллельные плоскости проекций, называют плоскостями уровня.

Рис. 30

Плоскость Q (рис. 29), параллельную фронтальной плоскости проекций (эта плоскость одновременно перпендикулярна двум другим плоскостям проеций), называют плоскостью фронтального уровня или фронтальной. На горизонтальную плоскость проекций она проецируется в прямую, параллельную оси ОХ, все что в ней находится ( вданном случае треугольник АВС ) проецируется в эту линию – ее горизонтальный след. На фронтальную плоскость проекций геометрические образы, находящиеся в этой плоскости, проецируются без искажения ( в натуральную величину – вданном случае величина фронтальной проекции треугольника равна величине сомого треугольника). Эта плоскость не имеет фронтального следа.

Плоскость R (рис. 30), параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной или плоскость горизонтального уровня или горизонтальной. На горизозонтальную плоскость проекций треугольник АВС, находящийся в плоскости фронтального уровня R, проецируется без искажения, а на фронтальную – в линию параллельную оси ОХ, являющуюся фронтальным следом плоскости R.

Параллельные плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Н а рисунке 31 построена плоскость, проходящая через точку К параллельная плоскости, заданной пересекающимися прямыми АВ и АС.

Рис. 31 Рис. 32

.

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГОЧЕРТЕЖА

Многие задачи решаются легко и просто, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) рассматриваемых геометрических тел находятся в частном положении. Такое частное, наивыгоднейшее взаимное расположение геометрического элемента и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа.

Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависит не только от сложности задачи, но и от того, какое положение занимают геометрические образы, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций.

Для упрощения решения метрических и позиционных задач применяют различные методы преобразования ортогональных проекций. После таких преобразований новые проекции позволяют решать задачу минимальными графическими средствами.

Переход от общего положения геометрического образа к частному можно осуществить изменением взаимного положения проецируемого объекта и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:

во-первых – перемещением в пространстве проецируемого объекта так, чтобы он занял частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве;

во-вторых – выбором новой плоскости проекций, по отношению к которой проецируемый объект, не меняющий своего положения в пространстве, окажется в частном положении.

Первый способ лежит в основе метода вращения (и как частные случаи: совмещения и плоско-параллельного перемещения); второй – составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций.

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

Метод перемены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из плоскостей заменяется на новую. Эта плоскость выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций. Геометрический элемент при этом не меняет своего положения в пространстве. Новую плоскость располагают так, чтобы по отношению к ней геометрический элемент занимала частное положение, удобное для решения задачи.

Перемену плоскостей проекций можно производить несколько раз.

Н а рисунке 33 показано преобразование проекции точки А из системы HV в систему HV1 , в которой вместо фронтальной плоскости проекций введена новая вертикальная плоскость V1, а горизонтальная плоскость проекций осталась неизменной. Получаем новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей H и V1. В новой системе горизонтальная проекция точки осталась неизменной. Проекция a1/ точки А на новую плоскость V1 находится от плоскости H на том же расстоянии что и проекция a / точки А на плоскости V. Это условие позволяет легко строить проекции точки на комплексном чертеже (рис. 34) на новой плоскости проекций.

И спользуя вышеизложенное сделаем заключение: расстояние от старой проекции точки до старой оси, равно расстоянию от новой проекции точки до новой оси.

Рис. 35

На рисунке 35 показано нахождение натуральной величины отрезка АВ и углов наклона его к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

При замене фронтальной плоскости проекций V на новую V1 (она вводится перпендикулярной оставшейся горизонтальной плоскости проекйи H и параллельно отрезку АВ ) новая ось x1 проводится параллельно горизонтальной проекции отрезка (x1  ab ). Используя правило ортогонального проецирования (проекционные линии связи всегда перпендикулярны оси проекций) и условие получения новой проекции точки при замене плоскостей проекций, находим новую проекцию прямой АВ – a1 b1

Полученная проекция по величине есть натуральная величина отрезка АВ, здесь же находится угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций.

При замене горизонтальной плоскости проекций (новая плоскость вводится параллельной отрезку в пространстве и перпендикулярно оставшейся фронтальной плоскости проекций), получаем опять-таки натуральную величину отрезка и угол наклона его к фронтальной плоскости проекций.

При замене последовательно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции получаем в новой системе плоскостей прямую АВ в виде точки, т. е. в новой системе апрямая становится проецирующей.