Властивості функції Ейлера

В лекції 4 модуля 1 було введене поняття числових функцій , які визначені для всіх натуральних значень аргументу; було розглянуто деякі числові функції.

У теорії чисел використовують ряд спеціальних функцій, які дають важливу арифметичну характеристику цілих чисел. Однією з таких функцій є (читається „ант’є від х”), яка задана на множині всіх дійсних чисел; [x] – це найбільше ціле число, менше за х. За допомогою функції [x] можна, наприклад, вказати степінь, з яким у канонічний розклад числа n! входить простий множник p. Цей степінь дорівнюватиме такому натуральному числу:

Означення 9. Числова функція , визначена на множині натуральних чисел, називається мультиплікативною, якщо для кожного n і для будь-яких взаємно простих натуральних чисел n і m

(9)

Мультиплікативні функції мають такі властивості:

1) Якщо - мультиплікативна функція, то

2) Якщо - мультиплікативна функція і числа попарно взаємно прості, то

(10)

3) Добуток мультиплікативних функцій є мультиплікативна функція.