1*. Суть закону великих чисел і центральної граничної теореми
Багато результатів у теорії ймовірностей можна розглядати як вapiaцiї, продовження та узагальнення двох основних теорем: закону великих чисел i центральної граничної теореми. Обидві групи відповідних теорем належать до граничної поведінки послідовностей випадкових величин.
Суть закону великих чисел полягає в тому, що в разі дуже великого числа випадкових явищ усереднений їх результат практично перестає бути випадковим i може бути передбачений із великою часткою вipoгiдності.
У вузькому розумінні слова під «законом великих чисел» розуміють групу математичних теорем, у кожній з яких за тих чи інших умов встановлюється факт наближення середніх характеристик великого числа дослідів до відповних сталих – невипадкових величин. Із деякими окремими випадками закону великих чисел ми вже стикалися раніше, проте лише на описовому рівні. Зокрема, це стосується поведінки відносної частоти події за необмеженого збільшення числа дослідів. На підставі статистичної закономірності, що проявляється у властивості стійкості відносної частоти, було введено фундаментальне поняття ймовірності. Тепер, користуючись твердженням закону великих чисел, можна буде перевірити, як узгоджується вихідне припущення про стійкість відносної частоти з висновками, якi можна отримати з теоретико-ймовірносної моделі.
Інший вид статистичної закономірності – стійкість середнього значення. Логічною основою для неї є такий хід міркувань. Під час кожної окремої спроби її результат, що характеризується деяким показником, під впливом факторів буде відхилятися від деякого сталого значення в той чи інший бік. Тому середнє значення показника за достатньо великого числа спроб унаслідок взаємного погашення індивідуальних відхилень стає стійким, наближаючись до деякого сталого числа, тобто практично не залежить від випадку.
Поряд iз тим значення теорем закону великих чисел полягає не тільки в можливості перевірки узгодження теоретико-ймовірносної моделі з досліджуваним явищем. Установлення факту статистичної стійкості лежить в основі статистичних висновків і узагальнень, дозволяє на базі вивчення завжди обмеженого числа дослідних даних робити висновки про поведінку досліджуваного явища в інших подібних ситуаціях, формулювати статистичні закономірності, яким ці явища підпорядковані. Так, реєструючи протягом тривалого проміжку часу відносну частоту браку продукції на певній операції, встановивши її стійкість і переходячи до відповідної ймовірнісної моделі, тобто до ймовірності браку, можна на підставі теорем закону великих чисел передбачити (якщо збережуться незмінними умови виконання цієї операції) відносну частоту браку продукції в майбутньому, середнє очікуване число бракованих виробів у партії з одиниць продукції, можливі відхилення від середнього значення і т. д.
Отже, закон великих чисел приводить до встановлення детермінованих закономірностей у поведінці відносної частоти, середнього значення або інших показників, що характеризують результат достатньо великого числа спроб в умовах непередбачуваності результату кожної спроби окремо.
Ми розглянемо також другу групу граничних теорем, які можна об’єднати однією назвою – центральна гранична теорема. Як і закон великих чисел, вона має кілька форм. У всіх формах центральної граничної теореми визначаються умови виникнення нормального розподілу випадкової величини (закону Гаусса). Такі умови часто трапляються на практиці, чим і пояснюється широке застосування нормального закону до випадкових явищ. На підставі тверджень центральної граничної теореми можна зробити висновок, що нормальний розподіл виникає тоді, коли підсумовується багато незалежних (або слабо залежних) випадкових величин, які є порівняльними щодо порядку свого впливу на розсіювання суми.
Для спрощення викладу обмежимося тільки формулюванням основних теорем, що складають зміст «закону великих чисел» та роз’ясненням їх суті, а доведення їх опускаємо.