Современное представление о математической статистике
Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использованию их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося статистического материала» . При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.
По типу решаемых задач математическая статистика обычно делится на три раздела: описание данных, оценка и проверка гипотез.
По виду обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления:
Одномерная статистика (статистика случайных величин), в которой результат наблюдения описывается действительным числом.
Многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над объектом описывается несколькими числами (вектором).
Статистика случайных процессов и временных рядов, где результат наблюдения — функция.
Статистика объектов нечисловой природы, в которой результат наблюдения имеет нечисловую природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением или получен в результате измерения по качественному признаку.
Исторически первыми появились некоторые области статистики объектов нечисловой природы (в частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о ней) и одномерная статистика. Математический аппарат для них проще, поэтому на их примере обычно демонстрируют основные идеи математической статистики.
Лишь те методы обработки данных, то есть математической статистики, являются доказательными, которые опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов. Речь идет о моделях поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента, течения заболевания и т. п. Вероятностную модель реального явления следует считать построенной, если рассматриваемые величины и связи между ними выражены в терминах теории вероятностей. Соответствие вероятностной модели реальности, то есть ее адекватность, обосновывают, в частности, с помощью статистических методов проверки гипотез.
Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми, их можно использовать лишь при предварительном анализе данных, так как они не дают возможности оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала.
Вероятностные и статистические методы применимы всюду, где удается построить и обосновать вероятностную модель явления или процесса. Их применение обязательно, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).
В конкретных областях применений используются как вероятностно-статистические методы широкого применения, так и специфические. Например, в разделе производственного менеджмента, посвященного статистическим методам управления качеством продукции, используют прикладную математическую статистику (включая планирование экспериментов). С помощью ее методов проводится статистический анализ точности и стабильности технологических процессов и статистическая оценка качества. К специфическим методам относятся методы статистического приемочного контроля качества продукции, статистического регулирования технологических процессов, оценки и контроля надежности и др.
Широко применяются такие прикладные вероятностно-статистические дисциплины, как теория надежности и теория массового обслуживания. Содержание первой из них ясно из названия, вторая занимается изучением систем типа телефонной станции, на которую в случайные моменты времени поступают вызовы — требования абонентов, набирающих номера на своих телефонных аппаратах. Длительность обслуживания этих требований, то есть длительность разговоров, также моделируется случайными величинами. Большой вклад в развитие этих дисциплин внесли член-корреспондент АН СССР А. Я. Хинчин(1894—1959), академик АНУССРБ.В. Гнеденко(1912-1995) и другие отечественные учёные.
а) Основная литература:
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения.-М.: Высшая школа, 2000.-480с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: Высшая школа, 2001.-479с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высшая школа, 2001.-400с.
б) дополнительная литература:
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения.-М.: Высшая школа, 2000.-383с.
1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. акад. РАН Ю. В. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. — 910с.
2. Орлов А. И. Эконометрика. Учебник. 2-е изд. — М.: Экзамен, 2003. — 576 с
3. Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики / Орлов А. И., Фомин В. Н. и др. — М.: ВНИИ Стандартизации, 1987. — 62 с.
4. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 80 с.
5. Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов. — М.: Наука, 1987. — 304 с.
6. Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях (в соавторстве). - М.: Наука, 1985. - 220 с.
7. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (2-е изд.), 1983 (3-е изд.)
8. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. - 512 с.
9. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. - 648 с.
10. Кендалл М.Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973. – 900 с.
11. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении / Доклады АН СССР. 1941. Т.31. С.99-101.
12. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы.) – М.: Наука, 1973. - 496 с.
13. Орлов А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях. – М.: Наука, 1979. - 296 с.
Камень Ю. Э., Камень Я. Э., Орлов А. И. Реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки статистических гипотез. - Журнал «Заводская лаборатория». 1986. Т.52. No.12. С.55-57.
15. Орлов А.И. О нецелесообразности использования итеративных процедур нахождения оценок максимального правдоподобия. – Журнал «Заводская лаборатория», 1986, т.52, No.5, с.67-69.
16 Орлов А.И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат. – Журнал «Заводская лаборатория».1985. Т.51. No.1. С.60-62.
17. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. - 456 с.
18. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С.М.Ермакова. - М.: Наука, 1983. – 392 с.
19. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с.
20. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. – 736 с.