3.19. Смешанное произведение трех векторов

Определение 3.19.1. Смешанным произведением трех векторов называется число

 =  (3.19.1)

Из определения ясно, что если хотя бы один из данных векторов нулевой, то смешанное произведение, очевидно, равно нулю. Больше того, когда два из них коллинеарны, например, , то по определению векторного произведения следовательно, , отсюда

Теорема 3.19.1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения, т. е. = 0.

Доказательство. Необходимость. Если векторы компланарны, то вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а, следовательно, он перпендикулярен вектору , поэтому .

Достаточность. Пусть = 0. Будем считать, что среди данных векторов нет нулевого, а также никакие два из них не являются коллинеарными, ибо иначе сразу можно утверждать, что векторы компланарны.

Тогда

откуда , следовательно, вектор лежит в плоскости векторов , , т. е. векторы компланарны.

Теорема 3.19.2. Смешанное произведение трех векторов заданных своими аффинными координатами, вычисляется по формуле

(3.19.2)

Доказательство. Формула (3.19.2) следует из формулы (3.18.1) и (3.16.3).

Следствие 3.19.1. Смешанное произведение трех векторов заданных своими декартовыми координатами, находится по формуле

= – +

Теорема 3.19.3. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях после приведения их в общее начало, взятому со знаком “+”, если тройка правая, и со знаком “–”, если эта тройка левая.

Доказательство. Пусть S — площадь параллелограмма, построенного на векторах и после приведения их в общее начало. Допустим, что — орт вектора , а h — высота параллелепипеда, построенного на векторах , при условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторах и (рис. 3.19.1, 3.19.2).

Ясно, что . Отметим, что , если тройка векторов является правой, и , если — левой.

Тогда

где V объем параллелепипеда, причем берем “+”, если тройка правая, и “–”, если эта тройка — левая.

Следствие 3.19.2. Верно равенство

. (3.19.3)

Доказательство. В самом деле, в силу коммутативности скалярного произведения , поэтому достаточно показать, что . Последнее равенство очевидно, ибо абсолютная величина каждого из чисел равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , исходящих из общей точки, и, кроме того, эти числа имеют одинаковые знаки, так как тройки векторов и имеют одинаковую ориентацию.

Из теоремы 3.19.3 следует, что ( ) > 0 (( ) <0), когда тройка векторов — правая (левая). Поэтому правую (левую) тройку векторов иногда называют положительно (отрицательно) ориентированной.