Моделирование нелинейной автоколебательной системы Ван дер Поля
Возможность существования периодического асимптотически устойчивого движения, изображаемого изолированной замкнутой траекторией в фазовом пространстве, к которой со временем притягиваются траектории из некоторой окрестности независимо от начальных условий, обеспечивается только в нелинейных диссипативных системах. Этот тип динамических систем называется автоколебательными системами. Математическим образом автоколебаний служит предельный цикл Пуанкаре – замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве, отвечающая периодическому движению.
В качестве примера динамической системы с предельным циклом Пуанкаре рассмотрим классический нелинейный осциллятор Ван дер Поля. Уравнение Ван дер Поля описывает простейший случай возникновения генерации в автоколебательной системе и имеет вид:
где – параметр системы характеризует подкачку энергии в систему от внешнего источника, и называется параметром возбуждения. Задает характер решения и начальные условия для и .
При положительных колебания в системе нарастают, но вследствие нелинейности системы их амплитуда ограничивается, а форма заметно отличается от синусоидальной. Система Ван дер Поля описывает сложный колебательный контур, характер диссипации в котором зависит от переменной .
Задание (1 вариант решения задачи):
пусть , а начальные условия , .
уравнение Ван дер Поля решить с помощью блока Given…Odesolve.
получить фазовый портрет решения системы (рис. 1.1) и график колебаний (рис. 1.2)
Рис. 1.1. Фазовый портрет системы Ван дер Поля
Рис. 1.2. Графики колебаний
Вывод: Положение равновесия в начале координат, в котором вблизи нуля можно пренебречь нелинейностью, является неустойчивым фокусом. Траектории из окрестности состояния равновесия асимптотически стремятся к предельному циклу. Как показывает анализ, предельный цикл является устойчивой изолированной структурой, притягивающей к себе траектории из любой точки на фазовой плоскости.
Таким образом, в динамических системах с нелинейной зависимостью диссипации энергии от переменной, совершающей колебания, впервые появляется принципиально новый тип устойчивого предельного множества фазовых траекторий – предельный цикл. На предельном цикле за время периода колебаний доли рассеиваемой и вносимой энергии строго компенсируются.
Развитием системы Ван дер Поля является система Ван дер Поля Дуффинга, введенной по типу осциллятора Дуффинга. Эта модель учитывает возможность синхронизации автоколебательных систем импульсами.
Проанализируем систему Ван дер Поля – Дуффинга. Уравнение системы дифференциальное уравнение второго порядка, которое можно разбить на два уравнения первого порядка:
З адание (2 вариант решения задачи):
пусть , а вектор начальных условий:
систему нелинейных дифференциальных уравнений Ван дер Поля –Дуффинга решить с помощью функции rkfixed. Например,
получить фазовый портрет решения системы (рис. 1.3) и график колебаний (рис. 1.4)
Рис. 1.3. Фазовый портрет системы Ван дер Поля – Дуффинга
Рис. 1.4. График колебаний
Вывод: системы, колебания в которых возникают без внешних воздействий, называются автономными системами. К ним также относятся автогенераторы синусоидальных и релаксационных колебаний. Периодическая модуляция предельного цикла автономной системы приводит к тому, что фазовая траектория вращается вокруг предельного цикла и лежит на двумерной поверхности, представляющей собой поверхность тора. Эта поверхность будет устойчивым предельным множеством, к которому стягиваются со временем все траектории из некоторой окрестности тора (как изнутри него, так и снаружи). График колебаний показывает, что возникшие вначале колебания сразу же затухают во времени.