§5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и к решению дифференциальных уравнений
Рядом Тейлора функции относительно точки называется степенной ряд вида
Коэффициенты этого ряда
называются коэффициентами Тейлора функции .
Укажем алгоритм разложения функции в ряд Тейлора по степеням .
1) Записать общий вид ряда Тейлора.
2) Найти производные . Установить закономерность для .
3) Вычислить значение функции и значения производных для . Установить закономерность.
4) Подставить найденные значения в ряд Тейлора.
5) Найти область сходимости ряда Тейлора.
6) Записать разложение в ряд с указанием области сходимости.
Пример 5.1. Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию .
Решение.
1) Записываем ряд Тейлора, :
.
2) Находим производные:
3) Вычисляем значение функции и значения производных при :
4) Подставляем найденные значения в ряд Тейлора:
(1)
5) Находим область сходимости ряда Тейлора (1):
, Следовательно, интервал сходимости .
Исследуем ряд на концах интервала. При ряд (1) имеет вид
При ряд (1) имеет вид
Это знакочередующийся ряд и, применяя признак Лейбница, получаем , то есть он сходится. Так как ряд, составленный из абсолютных величин расходится, то при ряд (1) сходится условно.
Область сходимости ряда (1) .
6) Записываем разложение функции по степеням с указанием области сходимости:
Ряд Тейлора , при , называют рядом Маклорена.
Приведем разложения в ряд Маклорена для некоторых элементарных функций:
Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.
Пример 5.2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд. Имеем
Заменяя t на получим
.
Подставляя разложение подынтегральной функции в интеграл, получаем:
Можно ограничиться первыми тремя членами ряда, так как четвертый член знакочередующегося ряда меньше 0,001, поэтому сумма ряда, начинающегося с четвертого члена, будет меньше 0,001 и, в рамках заданной точности, весь этот ряд можно отбросить.
Пример 5.3. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
Решение. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом последовательного дифференцирования. Будем искать решение с помощью ряда Маклорена.
.
Из начального условия , тогда . Для нахождения следующего коэффициента продифференцируем обе части уравнения , получим
Решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 5.4. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Для решения задачи воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Разложим свободный коэффициент уравнения в степенной ряд
.
Решение уравнения будем искать в виде .
Тогда
Из начальных условий находим: .
Для нахождения следующих коэффициентов подставляем полученные разложения для в дифференциальное уравнение
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
|
|
| ; |
| ; |
| ; |
| … |
Учитывая, что находим, что , . Таким образом, решение уравнения имеет вид
,
то есть .
- Составители: доц. Валерий Леонидович Шур
- §1. Числовые ряды
- §2. Признаки сходимости числовых рядов
- §3. Знакопеременные ряды
- §4. Степенные ряды
- §5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и к решению дифференциальных уравнений
- §6. Ряды Фурье
- Индивидуальные домашние задания
- Библиографический список