Тема 1

2.Равносильности, выражающие одни логические законы через другие:

Из равносильностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4 соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания. Таким образом, в доказательстве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем две из них: первую и третью.

Так как при одинаковых логических значениях х и у истинными являются формулы , то истинной будет и конъюнкция . Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

Пусть теперь х и у имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликаций или . Но при этом будет ложной и конъюнкция . Таким образом, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.

Рассмотрим равносильность 3. Если х и у принимают одновременно истинные значения, то будет истинной конъюнкция х˄у и ложным отрицание конъюнкции .В то же время будут ложными и , и , а поэтому будет ложной и дизъюнкция .

Пусть теперь хотя бы одна из переменных х или у принимает значение ложь. Тогда будет ложной конъюнкция х˄у и истинной ее отрицание. В то же время отрицание хотя бы одной из переменных будет истинным, а поэтому будет истинной и дизъюнкция .

Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание х не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Содержание