§7. Логарифмические уравнения с применением тригонометрии

Пример 35. Решите уравнение

.

Решение

Найдем область допустимых значений:

Рис. 6

Решением системы неравенств является объединение промежутков:

и , или .

По свойству логарифмической функции, получим:

.

Поскольку , что следует из области допустимых значений, значит,

.

Найдем значения x, входящие в область допустимых значений, т. е. в промежутки и .

Для этого разобьем полученное множество корней на две группы с и найдем значения n, при которых x, входят в указанные промежутки.

Из .

Для первой группы корней и первого промежутка, находим:

, n = 0,

значит . Для первой группы корней и второго промежутка, находим:

,

целых значений для n нет, значит, на этом промежутке нет корней из первой группы.

Для второй группы корней и первого промежутка:

,

здесь также целых значений n нет, значит, корней нет.

Для второй группы корней и второго промежутка:

-

это неравенство выполняется только для одного целого значения n = 1, получаем еще один корень .

Ответ: , .

Пример 36. Решите уравнение

.

Решение

Найдем область допустимых значений:

Областью значений будет являться объединение промежутков:

или

.

По свойству логарифмической функции получим:

.

Из области допустимых значений известно, что , тогда получим:

.

Эту запись можно представить в виде двух множеств корней:

.

Остается определить, при каких целых значениях n корни будут входить в промежутки из области допустимых значений:

.

Исследуем первую группу корней .

На первом промежутке: .

Целых значений n на этом промежутке нет.

На втором промежутке: .

Целых значений нет и на этом промежутке.

На третьем промежутке: ,

.

Получаем одно целое значение n = 1. Тогда, .

Исследуем вторую группу корней .

На первом промежутке: , получаем одно целое значение n = 0. .

На втором промежутке: - целых значений n на этом промежутке нет.

На третьем промежутке:

.

Целых значений n нет.

Ответ: , .

Пример 37. Решите уравнение

.

Решение

Область допустимых значений:

Рис. 8

Областью допустимых значений является объединение промежутков:

или

.

По свойству логарифмической функции получаем: ,

.

Из области допустимых значений известно, что , значит,

.

Установим, какие значения из первой группы корней входят в промежутки из области допустимых значений.

Рассмотрим первый промежуток

- целых значений n не принимает.

На втором промежутке

- целых значений n нет.

Установим, какие значения из второй группы корней входят в промежутки из области допустимых значений.

На первом промежутке:

- целых значений n нет.

На втором промежутке:

- на этом промежутке, также нет целых значений n.

Значит, ни при каких целых значениях n не найдутся значения x, которые удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ: корней нет.