1.5 Інверсія окружностей, що проходять і не минаючих через центр інверсії

Шлях деяка коло г проходить через центр інверсії - крапку О. При інверсії всі крапки кола г, за винятком крапки О, перетворяться в якісь інші крапки. Яку фігуру утворять ці крапки?

Теорема. При інверсії коло, що проходить через центр інверсії, перетвориться в пряму. Ця пряма перпендикулярна до лінії центрів даної кола й базисної кола.

Доказ. Нехай щ (О, R) - базисна коло інверсії, г (О1, R1) - дана коло, що проходить через О. Проведемо пряму О О1. Нехай вона перетне коло г у крапці А (мал. 19).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 19

Позначимо через Аґ крапку, інверсну крапці А. Виберемо на кола г довільну крапку Р и побудуємо їй інверсну крапку Рґ. зєднаємо Р с А, Рґ із Аґ. У силу леми про антипаралельні прямі Lоаґрґ = LОРА. Але LОРА = 90?, що як опирається на діаметр кола м. Тому Lоаґрґ теж дорівнює 90?, тобто крапка Р? лежить на прямій, що проходить через крапку А? і перпендикулярної до прямій ОА?. Позначимо пряму Р?А? через а. Ми показали, що кожна крапка кола г перетвориться в крапку прямій а. Не важко показати, що й обернено: кожна крапка прямій а інверсна деякій крапці кола м. Отже, коло г перетвориться при інверсії в пряму а, що й було потрібно довести.

З розглянутої теореми випливає спосіб побудови прямій, інверсної даної кола, якщо остання проходить через центр інверсії: 1) будуємо пряму ОО1, що проходить через центр інверсії й центр даної кола; 2) відзначаємо крапку А перетинання цієї прямої з даною окружністю (А ? О); 3) будуємо крапку А?, інверсну крапці А, і 4) через крапку А? проводимо пряму а, перпендикулярну прямій ОО1. Отримана пряма а шукана.

У тому випадку, коли базисна коло перетинає дану коло г, побудова спрощується: прямій, інверсної кола г, є пряма, обумовлена двома крапками перетинання кола г з базисною окружністю (мал. 20).

Якщо коло г стосується базисної кола щ, то г перетвориться в загальну дотичну цих окружностей.

Якщо дві кола стосуються в центрі інверсії, то вони перетворяться при інверсії в парі паралельних прямих.

Мал. 20

Теорема. При інверсії коло, що не проходить через центр інверсії, перетвориться в коло.

Доказ. Нехай щ (О, r) - базисна коло (мал. 21), г (О1, r1) - дана коло. Проведемо пряму ОО1 і відзначимо крапки А и В її перетинання з окружністю м. Нехай Аґ і Вґ - інверсні їм крапки. Позначимо через Р довільну крапку кола г, через Рґ - інверсну їй крапку. Зєднаємо Р с А й В, Рґ із Аґ і Вґ. з леми про антипаралельні прямі випливає, що L1? = L1, L2? = L2. Але L1 + L2 = 90є. Тому L1ґ + L2ґ = 90є. Отже, Lаґрґвґ = 90є. Таким чином, із крапки Рґ відрізок Аґвґ видний під прямим кутом. Виходить, крапка Рґ лежить на кола з діаметром Аґвґ. Позначимо цю коло через гґ. Ми довели, що кожна крапка кола г при інверсії перетвориться в крапку кола гґ.

Мал. 21

По ходу доказу теореми зясовується наступний спосіб побудови кола, інверсної даної кола (якщо остання не проходить через центр інверсії): 1) проводимо пряму через центр інверсії О и центр О1 дану коло г; 2) відзначаємо крапки А и В перетинання цій прямій з окружністю гґ; 3) будуємо інверсні крапки Аґ і Вґ; 4) будуємо коло гґ на відрізку Аґвґ як на діаметрі. Коло гґ шукана.