1.1 Визначення інверсії. Побудова інверсних крапок

Нехай на площині дана деяка коло щ (О, R) (мал. 1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 1

Нехай, далі, Р - довільна крапка площини, відмінна від крапки О. Зіставимо їй крапку Рґ, що задовольняла б двом умовам: крапка Рґ лежить на промені ОР;

ОР ОРґ = R2

Таку крапку Рґ ми називаємо інверсній або зворотній крапці Р щодо кола щ. Коло щ називається базисною окружністю інверсії, її центр - центром інверсії, а радіус - радіусом інверсії.

Перетворення, при якому кожній крапці деякої фігури ставиться у відповідність інверсна їй крапка, називається інверсією, а фігура, утворена всіма крапками, інверсними крапками даної фігури, називається інверсної стосовно даної фігури.

Оборотний увага на те, що при R = 1 Орґ= 1/ОР, так що їли крапка Р інверсна крапці Рґ, те відстані ОР і Орґ є взаємно оберненими числами. Із цим звязано те, що крапку Рґ називають зворотній крапці Р, а розглянуте перетворення називається перетворенням зворотних радіусів (відстаней), або ж обігом.

Розглянемо побудову інверсних крапок:

1 випадок.

Якщо крапка Р Є (О,Р ), то Рґ= Р (збігаються).

2 випадок.

Нехай крапка Р поза базисною окружністю.

Побудова.

щ (О, R) і Р - дана крапка.

РК - дотична до кола щ. К Є щ.

Крґ+ОР, Рґ Є ОР, Рґ - інверсна крапці Р. (мал. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 2.

Доказ.

Розглянемо подібні трикутники ОРК і ОКРґ. З подоби треба:

= або ОР ОРґ = R2

Крапка Рґ Є ОР (по побудові).

3 випадок.

Крапка Р - усередині базисної кола. Тоді побудова виконуємо в зворотному порядку.

Побудова.

щ (О, R) і Р - дана крапка.

РК+ОР, К Є щ.

КР - дотична до кола.