1.7 Інваріантні кола. Збереження кутів при інверсії

При інверсії базисна коло перетвориться в себе. Але існують і інші кола, що володіють такою властивістю.

Згадаємо деякі визначення.

Кутом між двома лініями в крапці їхнього перетинання Т називається кут між дотичними до цих ліній, проведеним у крапці Т.

Дві кола називаються ортогональними, якщо вони перетинаються під прямим кутом. Якщо дві кола ортогональні, то їхні радіуси, проведені в крапку перетинання, перпендикулярні між собою, і навпаки.

Мал. 23

Звідси випливає спосіб побудови окружностей, ортогональних даної кола щ у даній крапці Т. для цього досить на дотичній t до кола щ у крапці Т вибрати довільну крапку О1 і побудувати коло щ1 (О1, О1Т), що і буде шуканою (мал. 23).

Теорема. Для того щоб коло, відмінна від базисної кола, перетворилася при інверсії в себе, необхідно й досить, щоб вона була ортогональна базисної кола.

Доказ. 1) Достатність. Нехай коло г (О1, r1) (мал. 24) ортогональна базисної кола щ (О, r). Доведемо, що коло г перетвориться в себе.

Мал. 24

Нехай Р - довільна крапка кола м. Проведемо пряму ОР. Вона перетне коло г ще в деякій крапці Р1 (якщо пряма ОР стосується кола г, те за Р1 приймемо крапку Р).

Тому що коло г ортогональна кола щ, те радіус ВІД, що зєднує центр інверсії із крапкою перетинання окружностей, стосується кола м. Тому ОР ОР1 = ВІД2 = r2, так що крапка Р1 інверсна крапці Р. Отже, при інверсії щодо кола щ кожна крапка Р кола г перетвориться в крапку Р1, що також лежить на кола м.

Беручи до уваги властивість взаємності інверсних крапок, можна укласти також, що й обернено: кожна крапка кола г служить образом деякої крапки цієї ж кола. Таким чином, коло г перетвориться в себе.

2) Необхідність. Нехай коло г, відмінна від базисної кола інверсії, перетвориться в себе. Доведемо, що г - коло, ортогональна базисної. Тому що коло г відмінна від кола щ, те вона містить крапку Р, що не лежить на щ. Нехай крапка Р1 інверсна крапці Р (мал. 24); тоді одна із двох крапок Р и Р1 перебуває поза, а інша усередині кола щ. Отже, коло г перетинає коло щ. Позначимо через Т одну із крапок їхнього перетинання. Покажемо, що ВІД - дотична до кола м. Це можна встановити способом «від противного». Допустимо, що, крім крапки Т, пряма ВІД зустрічає коло г ще в крапці Т1. Помітимо, що крапки Р и Р1 розташовані по одну сторону від крапки О, так що крапка Про розташована поза окружністю г. У силу відомої властивості січних, проведених з однієї й тієї ж крапки до кола, ВІД ВІД1 = ОР ОР1 = r2. І тому що ВІД = r, те й ВІД1 = r. Отже, крапка Т1 повинна збігтися із крапкою Т, всупереч допущенню. Отже, ВІД - дотична до кола м. Отже, кола щ и г ортогональні.

Теорема. Якщо коло проходить через дві взаємно інверсні крапки, то при інверсії вона перетвориться в себе.

Доказ. Нехай коло г проходить через крапки Р и Рґ, інверсні щодо кола щ (О, r). Тоді ОР ОРґ = r2. Ясно, що крапка Про поза окружністю м. Нехай Q - довільна крапка на кола г (мал. 25).

Мал. 25

Проведемо промінь ОQ, і нехай він зустрічає коло г у крапках Q і Qґ (у випадку торкання променя ОQ з окружністю г Qґ? Q), тоді ОQ OQґ = OP OPґ = r2, тобто крапка Qґ інверсна крапці Q. Отже, якщо яка-небудь крапка лежить на кола г, те інверсна їй крапка також лежить на цій кола. Звідси містимо, що при інверсії коло г перетвориться в себе.

Наслідок. Коло, що проходить через дві взаємно інверсні крапки, ортогональна до базисної кола інверсії. Всі кола, що проходять через дві взаємно інверсні крапки, утворять еліптичний пучок, що складається з окружностей, ортогональних базисної кола інверсії.

Нехай через крапку М проходять дві лінії г1 і г2. припустимо, що існує єдина дотична до кожної із цих ліній у крапці М. нехай при інверсії крапка м перетвориться в крапку М?, а лінії г1 і г2 відповідно в лінії г1? і г2?. Виявляється, що кут між лініями г1? і г2? у крапці М? дорівнює куту між лініями г1 і г2 у крапці М.

Лема. Якщо при інверсії щодо кола щ (О, r) крапка М и минаюча через неї лінія г перетвориться в крапку М? і лінію г?, те лінії г и г? у цих крапках утворять із прямий ОМ рівні кути.

Мал. 26

Доказ. Нехай Р (мал. 26) - довільна крапка на лінії г, Р? - їй інверсна крапка; тоді Р? лежить на г?.

Зєднаємо М с Р, М? с Р?. У силу леми про антипаралельні прямі

LММ?Р? = LМРО або LММ?Р? = LМ?МР - LМОР... (1)

Нехай при необмеженому наближенні крапки Р уздовж лінії г до крапки М січна МР прагне до положення МА, так що МА - дотична до лінії г у крапці М. Нехай LМ?МА = ц. Тоді

lim LМ?МР = ц

P > M

У той же час, коли Р прагне до М уздовж лінії г, кут МОР прагне до нуля. Тому, у силу рівності (1), кут ММ?Р? також прагне до певної межі, рівному ц. Таким чином, коли Р прагне до М уздовж лінії г (і, отже, Р? прагне до М? на лінії г?), що секет М?Р? прагне до деякого граничного положення М?А?. А?М? - дотична до г? у крапці М? (по визначенню дотичної). Ми бачимо, що LММ?А? = ц. Лема доведена.

Теорема. Якщо дві лінії г1 і г2 і крапка їхнього перетинання М перетворяться в деякій інверсії відповідно в лінії г1? і г2? і крапку М?, те кут між лініями г1 і г2 у крапці М дорівнює куту між лініями г1? і г2? у крапці М?.

Мал. 27

Доказ. Нехай а1 і а2 - дотичні до г1 і г2 у крапці М, а1? і а2? - дотичні до г?1 і г?2 у крапці М? (мал. 27).

Будемо припускати, що жодна із прямих а1 і а2 не збігаються із прямий ОМ, де ОБ - центр інверсії; у противному випадку доказ тільки спрощується. Прямій ММ? площина розбивається на дві напівплощини. Виберемо в одній з них на кожній прямій а1, а2 і а?1, а?2 по одній крапці: А1 і А2; А1? і А2?. У силу леми

LМ?МА1 = L ММ?А1? (2)

LМ?МА2 = L ММ?А2? (2?).

Нехай для визначеності

LМ?МА2 < LМ?МА1, звідси LА2МА1 = LМ?МА1 - LМ?МА2 і L А2?М?А1? = L ММ?А1? - L ММ?А2? , так що в силу рівностей (2) і (2?) LА1?М?А2? = LА1МА2.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо дві лінії стосуються в деякій крапці, відмінної від центра інверсії, то при інверсії вони перетворяться у дві лінії, які стосуються у відповідній крапці.