1.9 Інверсор

Існують прилади за допомогою яких можна без усяких обчислень і без залучення звичайних інструментів геометричних побудов вичертити лінію, інверсну будь-якої даної лінії.

Уперше інверсор був запропонований французьким капітаном Поселье в 1864 році. Цей прилад одержав популярність тільки через сім років, коли він був залежно від Поселье винайдений петербурзьким студентом Липкиним, видимо, під впливом ідей П. Л. Чебишева.

«Клітка Поселье», як прийнято називати цей інверсор, складається із шести стрижнів, звязаних шарнірами (мал. 29). Чотири з них становлять ромб PAQB. Інші два стрижні рівні між собою, але кожний з них довше сторони ромба PAQB.

Позначимо РА через а, ОА через l, а різниця l2 - a2 через R2. Припустимо, що крапка Про закріплена на площині. Тоді при будь-якому положенні крапки Р на площині крапка Q буде їй інверсна щодо кола щ (О, R). Справді: 1) Р и Q лежать на одному промені, що виходить із крапки

О, і 2) ОР ОQ = (ОС - РС) (ОС + РС) = ОС2 - РС2 = (l2 - АС2) - (а2 АС2) = l2 - а2 = R2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 29

Коли крапка описує яку-небудь лінію г, крапка Q описує інверсну їй лінію гґ. Зокрема, коли Р описує коло, що проходить через крапку О, крапка Q опише пряму. Таким чином, інверсор Поселье дозволяє перетворити обертовий рух у прямолінійне. Якщо потрібно перетворити в інверсії коло радіуса r, то до інверсора в крапці Р шарнірно приєднується стрижень МР довжини r. Якщо крапки О и М закріплені нерухомо так, що стрижні ОА й ОВ можуть обертатися біля крапки О, а стрижень МР - біля крапки М (мал. 30), то крапка Р опише дугу деякої кола, а крапка Q - дугу інверсної їй кола або прямолінійний відрізок (у випадку, якщо ОМ = МР).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 30

Інверсор Гарту. Нехай чотири стрижні звязані шарнірно так, як зазначено на малюнку 31. вузли А, В, С и D є тут вершинами трапеції, причому

АВ = СD = d, АD = СВ = l

Нехай О, Р, і Q три крапки на цих стрижнях, причому

= =

У такому випадку крапки О, Р и Q лежать на одній прямій, паралельної підставі трапеції АСDВ. Припустимо, що крапка Про закріплена на площині, а чотири стрижні якось розташовані на цій площині. Виявляється, що при будь-якому розташуванні механізму добуток ОР ОQ постійно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 31

Покажемо це

Позначимо через із1, через із2; звідси = з1, = з2

Тому ОР ОQ = з1 з2 ВD АС.

Опустимо з У и D перпендикулярні ВВ1 і DD1 на АС.

Тоді АС ВD = АС В1D1 = (AD1 + D1C) (AD1 - AB1) = (AD1 +D1C) (AD1 - D1C) = AD12 - D1C2 = (AD2 - D1D2) - (CD2 - DD12) = AD2 - CD2 = l2 - d2.

Тому ОР ОQ = з1 з2 ( l2 - d2). Позначимо з1 з2 ( l2 - d2) через r2. тоді ОР ОQ = r2, так щоб крапки Р и Q інверсні щодо кола щ (О,r). Коли крапка Р опише яку-небудь лінію, крапка Q опише інверсну їй лінію. Зокрема, якщо крапка Р буде переміщатися по кола, що проходить через крапку О, інверсна їй крапка Q буде переміщатися по прямій.

Для зручності інверсного перетворення кола, що проходить через центр інверсії, приєднують до чотирьох розглянутих стрижнів ще один стрижень МР, що шарнірно звязаний зі стрижнем АD у крапці Р и може обертатися біля нерухливої крапки М, причому МР = МО. Розташування стрижнів у механізмі видно з малюнка 32.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал. 32