1.2 Метод Эйлера

Метод Эйлера для решения начальной задачи (2.1.1) был описан Эйлером в 1768 году. Этот метод весьма прост. Его глобальная погрешность имеет вид , где - постоянная, зависящая от задачи, и - максимальная длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов, что не слишком удовлетворительно. С другой стороны, еще со времен Ньютона известно, что можно найти гораздо более точные методы, если не зависит от , то есть если мы имеем задачу (2.1.1), решаемую квадратурой

. (2.2.1)

В качестве примера можно рассмотреть первую квадратурную формулу Гаусса, также называемую «правилом средней точки»:

(2.2.2)

где и - граничные точки подинтервалов, на которые разбит интервал интегрирования. Известно, что оценка глобальной погрешности этой формулы имеет вид . Таким образом, если желаемая точность составляет 6 десятичных знаков, ее обычно можно получить приблизительно за 1000 шагов, то есть этот метод в тысячу раз быстрее. Поэтому Рунге поставил следующий вопрос: нельзя ли распространить этот метод на исходную задачу Коши? Первый шаг длины должен иметь вид

. (2.2.3)

Но какое значение взять для ? За неимение лучшего естественно использовать один малый шаг метода Эйлера длины . Тогда из предыдущей формулы получим:

(2.2.4)

Решающим обстоятельством здесь является умножение в третьем выражении на , в результате чего влияние погрешности становится менее существенным. Точнее, вычислим для разложение Тейлора по степеням :

(2.2.5)

Его можно сравнить с рядом Тейлора для точного решения, который получается из того, что путем повторного дифференцирования с заменой на каждый раз, когда оно появляется:

(2.2.6)

Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим для погрешности первого шага выражение

(2.2.7)

Таким образом, если все частные производные второго порядка ограничены, то

.

Чтобы получить приближенное значение решения исходной задачи в конечной точке , будем применять формулы (2.2.4) последовательно к интервалам . Приведенные выше формулы являются усовершенствованным методом Эйлера. Для вычислений с высокой точностью, однако, следует пользоваться другими методами, одним из которых как раз является метод Рунге-Кутты.