4. Четырёхточечный метод Рунге-Кутты

Ниже кратко описано применение четырёхточечного метода Рунге-Кутты для решения задачи Коши (11) для дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Таким образом, мы будем рассматривать ту же самую задачу Коши, решение которой ранее рассматривалось методом Эйлера.

Заметим, прежде всего, что решение дифференциального уравнения (3а) фактически определяет зависимость первой производной от двух независимых переменных - х и у. Это очень хорошо видно из рис. 1: фиксируя х, мы имеем бесконечное множество значение производной , поскольку каждая из пересекаемых вертикальной линией х=const интегральных кривых имеет своё направление касательной.

Описываемый метод Рунге-Кутты, как и метод Эйлера, состоит из последовательности шагов величиной h, но, в отличие от последнего метода, на каждом шаге h находится не одно значение производной (в методе Эйлера находилось лишь ), а несколько. Они соответствуют разным значениям аргументов функции f(х,у). В четырёхточечном методе Рунге-Кутты (откуда и происходит его название) находится четыре различных значения и делается некоторое специфическое их усреднение (то есть берётся не простое среднее арифметическое значение этих производных!). После этого делается перемещение из точки в точку по прямой в направлении тангенса угла наклона, которое определяется этим усреднённым значением производной. Заметим, что разные варианты методов Рунге-Кутты отличаются друг от друга стратегией выбора точек, в которых находятся производные на микроинтервале h и формулой усреднения значения этих производных.

Рис. 2

Рассмотрим детально эту процедуру для одного шага метода Рунге-Кутты, который приводит к увеличению аргумента х на величину h, то есть определяет переход от значения к значению . Один такой шаг состоит из следующих четырёх этапов.

Этап I. Находим производную к интегральной кривой в точке 1 с координатами , подставляя эти координаты в правую часть дифференциального уравнения, т.е. вычисляя значение .

Из точки 1: перемещаемся на полшага вперёд по прямой, направление которой задаётся этим значением производной (то есть по прямой с тангенсом угла наклона к оси абсцисс, равным значению (этот этап метода Рунге-Кутты полностью аналогичен шагу метода Эйлера с шагом h/2). В результате, в плоскости (х,у) мы переходим в точку

.

Этап II. Через найденную таким образом точку 2 проходит своя интегральная кривая и мы находим направление касательной к ней, то есть вычисляем значение производной

Далее делается полшага вперёд с найденным значением производной (), но снова из начальной точки микроинтервала [,]. Таким образом, мы переходим в плоскости (х,у) в точку

.

Этап III. В этой точке находим значение производной , подставляя её координаты в правую часть дифференциального уравнения:

Эта производная определяет направление касательной к интегральной кривой, проходящей через точку 3.

Этап IV. Из начальной точки 1: делаем на сей раз полный шаг вперёд (на величину h по оси х) по прямой, в направлении, которое определяется значением производной . В результате мы переходим в точку

Находим производную в этой точке подстановкой её координат в правую часть дифференциального уравнения:

В результате четырёх описанных выше этапов мы нашли четыре значения производных. Производим их усреднение по формуле

(14)

Таким образом, является некоторым средневзвешенным значением найдённых четырёх производных: двум «внутренним» значениям производном соответствуют весовые множители 2, а двум крайним - множители 1 [деление в формуле (14) производится на сумму этих четырёх весовых множителей: 6=1+2+2+1].

Далее мы перемещаемся по прямой из начальной точки 1: в направлении, тангенс угла наклона которого к оси абсцисс определяется средним значением производной из формулы (14). Таким образом, из начальной точки с координатами переходим в точку плоскости (х,у) с координатами

.

Иными словами, полный шаг метода Рунге-Кутты определяется формулами

(15)

В теории методов Рунге-Кутты строго доказывается, что именно такое усреднении четырёх значений производной, найденное вышеуказанным методом, даёт наилучшее приближение к правильному результату для значения неизвестной функции у(х) на правом конце микроинтервала

Более того, порядок точности рассматриваемого метода Рунге-Кутты на одном шаге величины h оценивается формулой

, (16)

где . Здесь есть пятая производная от искомого решения дифференциального уравнения (3а) в некоторой точке на микроинтервале . Таким образом, локальная погрешность метода Рунге-Кутты (то есть погрешность на одном шаге h) пропорциональна пятой степени шага h и пятой производной искомого решения дифференциального уравнения.

Оценки точности типа (16) позволяют грубо оценить величину шага интегрирования шага h, необходимого для достижения требуемой точности решения исходного дифференциального уравнения. Для метода Эйлера аналогичная погрешность на одном шаге определяется формулой

Таким образом, четырёхточечный метод Рунге-Кутты на три порядка по шагу точнее метода Эйлера (например, при h=0.01 точность метода Рунге-Кутты в миллион раз выше точности метода Эйлера).

Более того, оказывается, что метод Рунге-Кутты порождает достаточно устойчивый вычислительный процесс и может, таким образом, применяться для решения широких классов дифференциальных уравнений.

Обобщение четырёхточечного метода Рунге-Кутты на случай решения систем дифференциальных уравнений в каноническом виде может быть сделано в полной аналогии с тем, как это делается для метода Эйлера.

При этом на каждом этапе метода Рунге-Кутты идёт вычисление четырёх наборов производных, соответствующих всем искомым функциям , которые определяются дифференциальными уравнениями

.

Эти уравнения и представляют собой систему ОДУ в канонической форме.

Последнее замечание. При решении задач в рамках настоящего пособия мы будем использовать математический пакет Maple, который предоставляет достаточно широкие возможности для численного решения ОДУ (можно использовать разные численные методы) и построения графиков их решений. Таким образом, при решении предлагаемых в пособии задач студентам не придётся сами программировать метод Рунге-Кутты или какие-либо другие методы численного решения дифференциальных уравнений.

Численное (а по возможности, и аналитическое) решение ОДУ на языке Maple осуществляется с помощью оператора dsolve, с разными спецификациями, которые, в частности, позволяют выбрать необходимый метод численного интегрирования. По умолчанию используется некоторая модификация чеитырёхточечного метода Рунге-Кутты, которая получила название метода Рунге-Кутты-Фельдберга. Она осуществляет решение ОДУ с переменным шагом, величина которого подбирается в зависимости от скорости изменения искомого решения (то есть от крутизны соответствующей интегральной кривой).