1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы
Пусть есть решение уравнения (1.14), удовлетворяющее возмущенным начальным условиям
и граничным условиям
.
Здесь - некоторые начальные ошибки.
Рассмотрим погрешность
.
Погрешность будет удовлетворять уравнению
(в силу линейности уравнения (1.14)), а также следующими граничными и начальными условиями:
,
.
Частное решение уравнения (1.23) будем искать в виде
.
Здесь числа и следует подобрать так, чтобы выражение (1.26) удовлетворяло уравнению (1.23) и граничным условиям (1.24).
При целом удовлетворяет уравнению (1.23) и условиям (1.24).
Подставим уравнение (1.26) в уравнение (1.24). При этом получим:
или
.
Выражение в квадратных скобках равно
.
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение вместо выражения в квадратных скобках и проводя сокращения на получим:
,
откуда находим :
.
Таким образом, согласно уравнению (1.26), получаем линейно-независимые решения уравнения (1.23) в виде
Заметим, что это частное решение удовлетворяет однородным краевым условиям (1.24). Линейная комбинация этих частных решений также является решением уравнения (1.23):
,
причем , определенное в выражении (1.27), удовлетворяет для любых однородным граничным условиям (1.24). Коэффициенты подбираются исходя из того, что должны удовлетворять начальным условиям (1.25):
.
В результате получаем систему уравнений
,
содержащую уравнений с неизвестными . Решая построенную систему определяем неизвестные коэффициенты .
Для устойчивости исследуемой разностной схемы необходимо, чтобы при любых значениях коэффициентов , определяемое формулой (1.27), оставалось ограниченной величиной при . Для этого достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство
.
Анализируя (1.28) видим, что это неравенство выполняется для любых значений параметра . При этом при или в крайнем случае, когда
,
остается ограниченным и при фиксированном не возрастает по модулю. Следовательно мы доказали, что рассматриваемая разностная схема устойчива для любых значений параметра .
- Введение
- 1. Теоретическая часть
- 1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа
- 1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа
- 1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток
- 1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы
- 2. Реализация метода
- 2.1 Разработка программного модуля
- 2.2 Описание логики программного модуля
- 2.3 Пример работы программы
- Заключение
- 12.1.1. Уравнения параболического типа.
- 1.4. Линейное параболическое уравнение и система
- 5. Применение метода конечных элементов для решения параболического уравнения Справочная информация
- Численное решение параболических уравнений
- 2.2.4. Аппроксимация уравнения параболического типа
- 2. Уравнения параболического типа
- Решение краевой задачи для уравнения параболического типа разностным методом
- 6.4.3.4 Аппроксимация уравнения параболического типа
- 1.2.4. Аппроксимация уравнения параболического типа