1.2.4. Аппроксимация уравнения параболического типа

Решение двухмерной задачи с уравнением параболического типа (2) выполняется с помощью сетки аналогичной приведенной на рис. 4.

Рассмотрим процесс теплопередачи по длинному однородному стержню длиной L, ось которого совпадает с осью x. Предположим, что в исходном состоянии стержень по всей длине имеет температуру T = T0. Затем, начиная с момента времени t = 0 температура на его правом конце x = L скачком возрастает до TL, в то время как на левом конце x = 0 поддерживается температура T = T0. Теплопередачей через боковую поверхность стержня будем пренебрегать.

Учитывая, что в стержне отсутствуют источники тепла (Q = 0), запишем в конечных разностях уравнение, эквивалентное (2):

или

где β = (k/ρC)(∆t/∆x²). Из (16) и (17) видно, что шаблон для уравнения параболического типа напоминает перевернутую букву Т.

Граничные условия по координате x в данной задаче включают температуру на концах стержня: T1,j = 0 при x = 0 и Tn,j = TL при x = L. По времени t начальное условие задает исходное распределение температуры в стержне T(x,t=0) = T0.

Запишем уравнение (17) для каждого узла сетки и, подставляя в него вместо i и j соответствующие этим узлам номера, получим систему связанных уравнений.

Решение системы уравнений для данной задачи, так же как и в предыдущем случае вычисляется с использованием явной схемы.

При этом расчет упрощается за счет того, что распределение температуры в стержне для каждого последующего временного слоя j+1 определяется из известного распределения только в одном предыдущем слое j.

При решении уравнения параболического типа также важен выбор шага ∆t. Для обеспечения сходимости и устойчивости метода желательно, чтобы параметр β = (k/ρC)(∆t/∆x²) в (17) не превышал 0,5. Нарушение этого условия приводит к расходящемуся или колеблющемуся решению.