5. Геодезичні лінії на кривої поверхні

Розглянемо крапки А и В на поверхні, зображеної на малюнку. Серед всіх кривих, які ми можемо провести на цій поверхні із крапки А в крапку В, існує одна найкоротша. Вона називається геодезичної. Цю геодезичну лінію ми й будемо відшукувати. Один зі способів визначити цю геодезичну є визначення її проекції на площину ху. Рівняння проекції АВ разом з рівнянням поверхні цілком визначають геодезичну лінією. Нехай рівняння поверхні є z = Ф(x, y).

Тоді, якщо х и в одержать прирости dx і dy, те z одержить приріст:

Отже, для елемента довжини дуги ds маємо:

Припустимо, що крапки А и В зєднані довільній кривій, проекція якої на площину ху є в = в(х). Тоді довжина кривої дорівнює:

Мінімум цього інтеграла ми шукаємо.

Як приклад розглянемо випадок параболічного циліндра, зображеного на наступному малюнку; його

z = b

Звідси

т. е. (1) звертається в

Можна одержати із цього інтеграла диференціальне рівняння геодезичної лінії звичайним способом, що був уже докладно розяснений, так що не коштує цього повторювати. Це рівняння буде:

Легко вирішити це рівняння. Рішення дає сімейство кривих на поверхні, що володіють тим властивістю, що якщо на який-небудь із кривих ми відзначимо пару крапок, то відстань по цій кривій між цими крапками менше відстані між ними по будь-якій іншій кривій. Якщо ми хочемо знайти геодезичну лінію, що проходить через дві задані крапки, те, вибираючи координати цих задані крапки, крапок як граничні значення, можемо визначити постійні інтеграції в загальному рішенні.