10. Задача Дидони

Особливий історичний інтерес має так звана задача Дидони. По переказі, Дидона, потрапивши в немилість своєму братові Пигмалиону, зібрала всі гроші, які могла, і втекла на південний берег Середземного моря. Там вона уклала угоду із царем Іарбасом на покупку такої кількості землі, скільки можна було відміряти за допомогою шкіри вола.

С дотепністю й хитрістю, яких завжди досить у міфології, вона розрізали шкіру на тонкі ремінці, звязала їхній один з одним і оточила за допомогою їхнє місце Карфагена. С характерної для финикиян наполегливістю в досягненні поставленої мети, вона не зєднала кінці, а помістила їх на березі моря. Задумавши свій блискучий план, вона зустрілася із задачею, яким образом так розташувати ремінь, щоб охопити їм найвигіднішу частину землі, що може бути максимальної чи ні, залежно від обставин.

Задача Дидони складається, таким чином, у наступному: задана крива (беріг моря), відома ціна землі (що змінюється зі зміною місця); як провести криву заданої довжини, щоб вартість площі між цими двома кривими була максимальною?

Щоб ілюструвати метод вивчення задач, вирішимо задачу Дидони для найпростішого випадку, саме припустимо, що земля має всюди однакову цінність і що беріг моря прямолінійний. Крім того припустимо, що кінці мотузки поміщені у дві задані крапки, відстань між якими дорівнює X . Задача зводиться до визначення кривої заданої довжини, що обмежує максимальну площу.

Отже, ця крива задовольняє двом умовам, викладеним на її довжину й на площу, що вона обмежує. Вибираючи берег моря за вісь х і поміщаючи один з кінців мотузки в початок координат, ми можемо записати ці умови у вигляді рівностей:

Перший інтеграл має задане значення, другий повинен бути зроблений найбільшим, шляхом вибору відповідної функції f(x).

Нехай шукана крива, що задовольняє поставленим вимогам, має рівняння в=f(x), довжина її дорівнює , а площа, що обмежується нею, дорівнює . Спробуємо застосувати наш колишній метод і зрівняємо криву y=f(x) із кривими в =f(x) е(x), де ?(х) мало, але в іншому довільно.

Очевидно, не можна вже сказати, що + dA -- нова площа для кривої порівняння -- менше ніж . Дійсно, крива порівняння може виявитися довше колишньої й тому укласти більшу площу. Інакше кажучи, наше колишнє міркування не годиться й ми повинні знайти новий метод дослідження.

Для цієї мети розглянемо замість кривій Дидони довжини , нову криву довжини + dL, де dL може бути як позитивно, так і негативно. Припустимо, що нова крива так розташована, що обмежує максимальну площу, що буде більше або менше , залежно від знака dL. Позначимо, нарешті, знову отриману площу через А + ДА, а відношення (або межа цього відношення при dL прагнучому до нуля) через л. Ми можемо тепер затверджувати, що якщо ми змінимо довжину кривої на величину dL, те найбільша площа, що вона при цьому може обмежувати, буде дорівнює Aо + ? dL.

Повернемося тепер до довільної кривої порівняння в =f(x) + ?(x), і нехай ця крива має довжину L0 + dL, більшу, меншу або рівну Lo. Позначимо через Ао + dA площа, обмежену цієї нової кривої. Яка б не була ця площа, вона не може бути більше A0 + ?dL, тому що по припущенню це-максимальна площа, для кривої довжини Lo + dL. Звідси треба, що

dA лdL,

або

dA лdL 0.

Це приводить до теореми:

Як би ми не змінили криву y = f(x), змінюючи її чи довжину ні, величина dA лdL ніколи не є позитивною. Але якщо dA лdL не позитивно, те А лL не може бути більше для нової кривої, чим для колишньої. Ми можемо, отже, висловити отриману теорему в більше виразній формі:

Крива, для якої величина А найбільша в порівнянні із кривими тієї ж довжини, робить найбільшої величину А лL. у порівнянні із кривими довільної довжини.

Тому вирішити задачу максимуму для А с обмеженням, що довжина криві порівняння L , дорівнює Lo, -- те ж саме, що вирішити задачу максимуму для А лL без усяких обмежень на криві порівняння. Правда, правильне рішення задачі вийде тільки в тому випадку, якщо ? обрана правильно, а тому що неможливо визначити ?, не знаючи рішення задачі, то може здатися, що ми нічого не досягли нашим міркуванням.

Ми побачимо, однак, що, припускаючи поки ? невідомої постійної, ми знайдемо надалі спосіб її визначення. Отже, інтеграл, максимум якого потрібно знайти, є:

Звичайні перетворення приводять до диференціального рівняння:

рішення якого

+ =л

Це - рівняння кола, радіуса ?, із центром у крапці (?, ?). У нього входять три довільних постійних ?, ? і ?, але ми маємо три умови для їхнього визначення, тому що крива повинна проходити через крапки (0,0), (X, 0) і повинна мати довжину L.

Найпростіший спосіб визначення постійних-- геометричний. Відомо, що центр кола, що проходить через дві крапки А и В, лежить на перпендикулярі, що ділить хорду АВ навпіл. Звідси а рівняється . Тому що гіпотенуза й один з катетів трикутника ADC відомі, то легко обчислити інший катет.

Отже, одержуємо для в значення . Нарешті, є величина кута АС В, обмірюваного в радіанах. Кут ACD дорівнює половині цього кута, і його синус дорівнює

Це дає нам рівняння:

звідки можна визначити л. Рівняння трансцендентне і його не можна вирішити алгебраїчним методом. Його можна вирішити приблизно шляхом здогаду або за допомогою рядів. Так, наприклад, якщо L дорівнює 1,25 X, л виявляється рівним , а отже, в=-0,234Х. Це саме те коло, що зображене на малюнку.