§3. Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции.

Пусть A - универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Щ. Каждая операция щ из Щ имеет определённую арность n, nN{0}.

Для любого натурального n n-арная операция щ - это отображение из Aⁿ в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a₁; …; a_n}Aⁿ операция щ ставит в соответствие однозначно определённый элемент щ(a₁; …; a_n) из A.

В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).

Если n = 0, то a⁰ - это одноэлементное множество и 0-арная операция щ переводит элемент a⁰ в некоторый элемент щ(a⁰) = щ из A, то есть 0-арная операция щ фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.

Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Щ, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Щ. Иными словами, для любого щЩ, n1, и любых а₁, а₂, …, а_пB должно быть

щ(а₁, а₂, …, а_п)B.

С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Щ (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.

Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.

Отсюда следует, что если X - непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.

Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Щ алгебры не содержит 0-арных операций.

Заметим, что система S(А) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X является алгебраическим.

Очевидно, что соответствие X является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.

Возьмём a, тогда a будет принадлежать и , где - конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций щЩ.

Справедливо и обратное утверждение:

Если D - произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A, то для подходящего набора алгебраических операций Щ и соответствующей структуры универсальной алгебры на A, имеем S(A) = D.

Для доказательства обозначим через ?(X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a₁, …, a_nA, где nN, и произвольному элементу b?({a₁, …, a_n}) поставим в соответствие свою n-арную операцию щ, определенную следующим правилом:

щ(x₁, …, x_n) = (4)

Это определяет структуру универсальной алгебры на A, где для каждого натурального числа n операции из Щ заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.

Пусть ?_Щ(X) =  - оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что ?(X) = ?_Щ(X).

Пусть XA и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c₁, …, c_m}. Тогда ?(X)?_Щ(X) по определению (4) алгебраических операций щ.

C другой стороны, так как ??(X) = ?(X), то для любой n-ки a₁, …, a_n?(X) и для любой n-арной операции щЩ щ(a₁, …, a_n)?({a₁, …, a_n})??(X) = ?(X). Поэтому ?(X) является подалгеброй алгебры и, значит, ?_Щ(X)?(X).

Пусть теперь X - произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания ?(X) и ?_Щ(X) - алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем

?(X) = ?(X ) = ?_Щ(X ) = ?_Щ(X),

где X  пробегает конечные подмножества множества X.

Итак, доказан следующий результат:

Теорема 2. Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Щ можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.

Полученный выше результат можно использовать при построении оператора замыкания??_Щ(X), соответствующего системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A.

Отметим, что примеры 1 и 3 дают алгебраические системы замыканий, а система замкнутых множеств топологического пространства (пример 2), как правило, не алгебраическая.