§1. Основные понятия и примеры

Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.

Определение 1. Пусть L - непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение - отношение порядка. Множество L - упорядоченное множество.

Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.

Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.

В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 4. Пусть A - произвольное множество и B (A) - его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D   подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D   и система D   замкнута относительно пересечений, то есть

?Y D   для любой непустой подсистемы YD.

Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).

Одним из примеров системы замыканий является следующий:

Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.

Введем ещё одно важное понятие - понятие оператора замыкания на множестве.

Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение ? множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:

J. 1. X?(X);

J. 2. Если , то ?(X)?(Y);

J. 3. ??(X) = ?(X)

для всех X, YB (A).

Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания ? равенством

?(X) = ?{YD | YX} для всех XA.

Отметим, что группа аксиом J. 1 - J. 3 является независимой. Покажем это.

Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.

Отображение ?, при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор ? следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:

, AA;

{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};

{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.

Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как ??(a) = A?{a, b} = ?(a).

Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение ? зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:

, AA;

{a}A, {b}A, {c}A;

{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.

Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}{a, b}, но ?({a}) = A{a, b} = ?({a, b}).

Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 - J. 3 будет независима.

Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.

Определение 6. Оператор замыкания ? на множестве A называется алгебраическим, если для любых XA и aA

а?(X) влечет a?(F)

для некоторого конечного подмножества F множества X.

С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.

Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания ? является алгебраическим, то есть для любого XA

a{ D D : X D} влечёт a{ D D : F D}

для некоторого конечного FX.

Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.

Пример 1.2: Пусть - топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X[X], где [X] - замыкание множества XA. Покажем, что - оператор замыкания на множестве A.

Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 - J. 3.

1) Если XY, то [X][Y].

Возьмем x₀[X]. Тогда любая окрестность точки x₀ содержит точки множества Xв любой окрестности точки x₀ содержатся точки множества Yx₀[Y].

2) X[X].

Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].

3) [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.

a) [X][[X]]. Доказано во втором пункте.

b) x₀[[X]]Возьмем U (x₀), для неё y₀U (x₀)[X]y - точка прикосновения множества XU (y₀) найдутся точки множества X. Возьмем U (y₀)U (x₀), z₀U (y₀)X. Отсюда z₀U (x₀)X. Тогда x₀ - точка прикосновения множества Xx₀[X]. Таким образом, [[X]][X].

Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R² поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.

Предложение 1. Если A - такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.

Доказательство:

? Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.

Требуется доказать, что A - полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.

Рассмотрим XA, Y - множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, xy для любого xX; если также xz для любого xX, то zY и, следовательно, yz. Поэтому y = sup X. ^

Определение 8. Упорядоченное множество (I,) называется направленным, если для любых i, jI существует такой элемент kI, что ik, jk, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.

Предложение 2. Пусть A - упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:

(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.

(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.

Доказательство:

? Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ^

Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba, являющийся максимальным в A.

Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.

Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.