Алгебраические системы замыканий

дипломная работа

§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания

В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.

Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания ? на A по правилу

?(X) = ?{Y D | YX}.

Обратно, каждый оператор замыкания ? на A определяет систему замыканий

D = {XA | ?(X) = X}.

Доказательство:

? 1) Пусть дана система замыканий D   и оператор ?, определенный по правилу ?(X) = ?{Y D | YX}. Докажем, что ? - оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 - J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 - 2 по определению. По условию, D - система замыканий. Тогда

?(X) = XXD, (1)

так как ?(X) D, то отсюда вытекает J. 3.

2) Обратно, пусть задан оператор замыкания ? (удовлетворяющий J. 1 - 3) и пусть

D = {XA | ?(X) = X}. (2)

Докажем, что D - система замыканий. Если (Xi)iI - произвольное семейство в D   и ?Xi = X, то XXi; следовательно, по J. 1. ?(X)?(Xi) = Xi для всех i, и поэтому

?(X)?Xi = X.

Вместе с условием J. 2 это показывает, что ?(X) = X, то есть XD. Таким образом, с помощью ? мы построили систему замыканий D.

3) Покажем, что соответствие D ? взаимно однозначно.

Во-первых, пусть D - произвольная система замыканий, ? - оператор, определенный равенством ?(X) = ?{YD | YX} для всех XA, и D  - система замыканий, определенная оператором ? по формуле (2). Тогда D  = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания ?, и пусть D - система замыканий, определенная оператором ? по формуле (2), а ?  - оператор, определенный системой D по формуле ?(X) = ?{YD | YX}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором ? , и, следовательно,

?(X) = X? (X) = X. (3)

В силу J. 3, ??(X) = ?(X); поэтому из (3) вытекает, что ? ?(X) = ?(X). Но X?(X) и, применяя ?  получаем ? (X)? ?(X) = ?(X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ^

Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.

На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.

Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а ?(X) называется замыканием множества X в A (?(X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D   является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)iI в D, то множество ?Xi будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах Xi, а ?{YD | YXi для всех iI} - наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi.

Делись добром ;)