Розділ 3. Теорема додавання і теорема добутку ймовірностей

Теорема додавання

Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій ,

якщо А та В несумісні

Сума ймовірностей подій Щ = {щ1, щ2 , … , щn}, що складають повну групу (сукупність єдино можливих подій), дорівнює одиниці

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу

Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи

Принцип практичної неможливості малоймовірних подій: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не наступить. Даний принцип використовується при розвязку практичних задач. Достатньо малу ймовірність, при якій (в конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості.

Теорема добутку

Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює дoбутку ймовірностей даних подій

Імовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій

Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.

Приклад

Експедиція видавництва відправила газети в три поштових відділення. Ймовірність своєчасної доставки газет в перше відділення дорівнює 0,95, у другу - 0,9, у третю - 0,8. Яка ймовірність того,що тільки одне відділення отримає газети вчасно?

Рішення:

Введемо події:

А1 = (газети доставлені вчасно в перше відділення),

А2 = (газети доставлені вчасно у друге відділення),

А3 = (газети доставлені вчасно у третє відділення),

За умовою P (A1) = 0,95; P (A2) = 0,9; P (A3) = 0,8.

Знайдемо ймовірність події Х = (тільки одне відділення отримає газети вчасно). Подія Х відбудеться, якщо

або газети доставлені вчасно в 1 відділення, і доставлені не вчасно в 2 і 3, або газети доставлені вчасно у 2 відділення, і доставлені не вчасно у 1 і 3, або газети доставлені вчасно в 3 відділення, і доставлені не вчасно в 2 і 1.

Таким чином,

Так як події А1, А2, А3 - незалежні, по теоремам додавання і множення

маємо:

Відповідь: 0,032.