1.3 Исследование частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел

Будем исследовать частоту встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел в следующем смысле. Необходимо исследовать свойства частоты встречаемости антипростых чисел на отрезках длины т, расположенных в ряду натуральных чисел от 1 до 1000000 и др. и получить какие-либо общие закономерности. Назовем частотой встречаемости антипростых чисел на отрезке [1, т] число (т) = (т)/т. Аналогично (k, т) = (k, т)/(т - k +1) - частота встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т]. Для оценки частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до m построим графики функций (т) = (т)/т (см рис. 4).

Рисунок 4 - График функции

Изучив график частоты (т) = (т)/т встречаемости антипростых чисел на отрезке от 1 до m, получим, что при малых значениях m он колеблется, то возрастая, то убывая (максимумы при антипростых m), но достигнув своего наибольшего значения при m = 9 приобретает тенденцию к убыванию.

На рисунке 5 представлен графики функций (т) и y(x)= () для .

Рисунок 5 - График функции (т) и y(x)=

Из графика на рис. 5 и из предыдущего пункта при больших m получаем гипотезу (т).

В таблице 2 (см Приложение Г) приведено сравнение значений функций (m), f(m)= и y(x)= до m= 1500000 и вычислена средняя ошибка приближения.

Средняя ошибка приближения функции (m) к функции f(m)= составила 1,185812%, а к функции y(x)= - 0,280031%.

Исследование функции (k, т) = (k, т)/(т - k +1) - частоты встречаемости антипростых чисел на отрезке [k, т], не позволило выявить закономерностей. Ясно лишь, что она при любом m принимает значения от 0 до 1. Всего различных значений не более m+1, а при m > 3 не более m и среди них будет 1. Есть гипотеза (строго это не доказано), что (k, т) не периодическая функция. Это также будет следовать из доказанной ниже теоремы 5.