Заключение
В процессе выполнения данной работы были решены задачи, предлагаемые на XI турнире юных математиков, и получены следующие результаты.
Для исследования антипростых чисел была разработана программа на Паскале, которая вычисляет антипростые числа. В Приложении А представлена таблица антипростых чисел на отрезке до . В принципе программа позволяет повысить значение n до большей величины, а также дает ответ, что среди чисел на отрезке до 3136000000 троек антипростых чисел вида n 1, n, n + 1 не найдено.
При исследовании количества антипростых чисел были проведены сравнения значений функции (n) с функцией, которые показали, на отрезке до n=420000 (n), а далее (n), причём процент ошибки небольшой. Так как вначале (n), то процент ошибки убывает, после n=420000 он начинает возрастать, и при n=2000000 он приблизительно равен 2%.
При исследовании частоты встречаемости антипростых чисел среди натуральных чисел были проведены сравнения значений функции (m) с функцией f(m)= и (m) с полученной функцией y(x)= () до m= 1500000. Вычислена средняя ошибка приближения. Средняя ошибка приближения функции (m) к функции f(m)= составила 1,185812%, а к функции y(x)= - 0,280031%.
В обобщениях об антипростых числах были сформулированы и доказаны семь теорем, а также три вопроса.
В заключении следует отметить, что тематика данной исследовательской работы является достаточно новой и поэтому и достаточно интересной.
В дальнейшем планирую продолжать исследовать антипростые числа.
Список использованных источников и литературы
1. Сендеров В., Френкин Б. Гипотеза Каталана. - журнал "Квант", 2007, №4. - С. 8-10.
2. Сендеров В. Решение задачи М2032. - журнал Квант", 2007, №4. - С. 19-21.
3. Оре О. Приглашение в теорию чисел - Серия "Библиотечка "Квант"", М. 1980. - 128 с.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972. - 168 с.
5. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. - М.: Академия, 2008. -273 с.
6. Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Теория чисел I. Введение в теорию чисел. - М.: ВИНИТИ, 1989.- 402 с.
Приложение A - +Таблица антипростых чисел
Приложение Б - Программа нахождения антипростых чисел
program Project2;
var
k:real;
b,t,i,j,m,n:longint;
a:array[1..2000000] of longint;
begin
assign(output,output.txt);
rewrite(output);
m:=3;
a[1]:=2;
a[2]:=3;
for i:=4 to 2000000 do begin
t:=1;
k:=sqrt(i);
b:=trunc(k);
for j:=2 to b do
if(i mod j)=0 then
t:=t+1;
if t=1 then begin
a[m]:=i;
m:=m+1;
end;
end;
n:=1;
for i:=1 to 2000000 do begin
t:=1;
for j:=1 to m-1 do
if(i mod a[j])=0 then begin
b:=i div a[j];
if (b mod a[j])=0 then
t:=t+1
else
begin
t:=1;
break;
end;
end;
if t>1 then
begin
writeln(i);
end;
end;
readln;
close(output);
end.
Приложение В - Таблица сравнения значений функций (n) и
Таблица 1 - Сравнение значений функций (n) и
Приложение Г - Таблица сравнения значений функций (m), f(m)= и y(x)=
Таблица 2 - Сравнение значений функций (m), f(m)= и y(x)=
|
Отрезок [1; m] |
Количество антипростых чисел (n) |
Значение функции (m) |
Значение функции f(m)= |
Значение функции y(x)= |
|||
|
[1; 20000] |
266 |
0,0133 |
0,014142 |
0,0134 |
6,331847 |
0,75188 |
|
|
[1; 40000] |
382 |
0,00955 |
0,01 |
0,009582228 |
4,712042 |
0,337463 |
|
|
[1; 60000] |
473 |
0,007883 |
0,008165 |
0,007875417 |
3,572505 |
0,100424 |
|
|
[1; 80000] |
551 |
0,006888 |
0,007071 |
0,006852171 |
2,665231 |
0,512948 |
|
|
[1; 100000] |
618 |
0,00618 |
0,006325 |
0,006150963 |
2,339083 |
0,469855 |
|
|
[1; 120000] |
677 |
0,005642 |
0,005774 |
0,005631644 |
2,336828 |
0,177647 |
|
|
[1; 140000] |
734 |
0,005243 |
0,005345 |
0,005226926 |
1,952517 |
0,30386 |
|
|
[1; 160000] |
785 |
0,004906 |
0,005 |
0,00489993 |
1,910828 |
0,128818 |
|
|
[1; 180000] |
837 |
0,00465 |
0,004714 |
0,004628521 |
1,377316 |
0,461906 |
|
|
[1; 200000] |
885 |
0,004425 |
0,004472 |
0,004398502 |
1,065219 |
0,598824 |
|
|
[1; 220000] |
927 |
0,004214 |
0,004264 |
0,004200287 |
1,195594 |
0,316802 |
|
|
[1; 240000] |
971 |
0,004046 |
0,004082 |
0,004027142 |
0,90586 |
0,461997 |
|
|
[1; 260000] |
1010 |
0,003885 |
0,003922 |
0,003874173 |
0,970683 |
0,268815 |
|
|
[1; 280000] |
1053 |
0,003761 |
0,00378 |
0,003737731 |
0,503374 |
0,611139 |
|
|
[1; 300000] |
1089 |
0,00363 |
0,003651 |
0,00361503 |
0,591838 |
0,41241 |
|
|
[1; 320000] |
1126 |
0,003519 |
0,003536 |
0,003503899 |
0,476985 |
0,42206 |
|
|
[1; 340000] |
1165 |
0,003426 |
0,00343 |
0,003402621 |
0,102178 |
0,696032 |
|
|
[1; 360000] |
1198 |
0,003328 |
0,003333 |
0,003309817 |
0,166945 |
0,539728 |
|
|
[1; 380000] |
1228 |
0,003232 |
0,003244 |
0,003224362 |
0,397622 |
0,223323 |
|
|
[1; 400000] |
1266 |
0,003165 |
0,003162 |
0,003145332 |
0,086014 |
0,621423 |
|
|
[1; 420000] |
1296 |
0,003086 |
0,003086 |
0,003071957 |
0,011431 |
0,445845 |
|
|
[1; 440000] |
1329 |
0,00302 |
0,003015 |
0,00300359 |
0,176831 |
0,558332 |
|
|
[1; 460000] |
1359 |
0,002954 |
0,002949 |
0,002939686 |
0,186461 |
0,496296 |
|
|
[1; 480000] |
1387 |
0,00289 |
0,002887 |
0,002879775 |
0,098007 |
0,339428 |
|
|
[1; 500000] |
1422 |
0,002844 |
0,002828 |
0,002823459 |
0,547569 |
0,722272 |
|
|
[1; 520000] |
1444 |
0,002777 |
0,002774 |
0,002770389 |
0,123233 |
0,235313 |
|
|
[1; 540000] |
1474 |
0,00273 |
0,002722 |
0,002720264 |
0,292141 |
0,34312 |
|
|
[1; 560000] |
1500 |
0,002679 |
0,002673 |
0,00267282 |
0,22247 |
0,214713 |
|
|
[1; 580000] |
1529 |
0,002636 |
0,002626 |
0,002627826 |
0,382301 |
0,317905 |
|
|
[1; 600000] |
1556 |
0,002593 |
0,002582 |
0,002585077 |
0,437446 |
0,318356 |
|
|
[1; 620000] |
1582 |
0,002552 |
0,00254 |
0,002544392 |
0,455021 |
0,282996 |
|
|
[1; 640000] |
1610 |
0,002516 |
0,0025 |
0,002505609 |
0,621118 |
0,398166 |
|
|
[1; 660000] |
1634 |
0,002476 |
0,002462 |
0,002468583 |
0,562565 |
0,289788 |
|
|
[1; 680000] |
1660 |
0,002441 |
0,002425 |
0,002433186 |
0,648057 |
0,327323 |
|
|
[1; 700000] |
1684 |
0,002406 |
0,00239 |
0,002399301 |
0,634201 |
0,266598 |
|
|
[1; 720000] |
1711 |
0,002376 |
0,002357 |
0,002366822 |
0,814946 |
0,402569 |
|
|
[1; 740000] |
1733 |
0,002342 |
0,002325 |
0,002335656 |
0,723309 |
0,266293 |
|
|
[1; 760000] |
1758 |
0,002313 |
0,002294 |
0,002305714 |
0,821412 |
0,321793 |
|
|
[1; 780000] |
1780 |
0,002282 |
0,002265 |
0,00227692 |
0,766732 |
0,224861 |
|
|
[1; 800000] |
1805 |
0,002256 |
0,002236 |
0,002249201 |
0,894494 |
0,312442 |
|
|
[1; 820000] |
1825 |
0,002226 |
0,002209 |
0,002222491 |
0,762903 |
0,14014 |
|
|
[1; 840000] |
1850 |
0,002202 |
0,002182 |
0,002196731 |
0,917282 |
0,256558 |
|
|
[1; 860000] |
1871 |
0,002176 |
0,002157 |
0,002171865 |
0,869925 |
0,170839 |
|
|
[1; 880000] |
1896 |
0,002155 |
0,002132 |
0,002147842 |
1,046081 |
0,311116 |
|
|
[1; 900000] |
1919 |
0,002132 |
0,002108 |
0,002124617 |
1,127327 |
0,356696 |
|
|
[1; 920000] |
1941 |
0,00211 |
0,002085 |
0,002102144 |
1,16782 |
0,362034 |
|
|
[1; 940000] |
1959 |
0,002084 |
0,002063 |
0,002080386 |
1,017257 |
0,17547 |
|
|
[1; 960000] |
1979 |
0,002061 |
0,002041 |
0,002059303 |
0,980708 |
0,104546 |
|
|
[1; 980000] |
2004 |
0,002045 |
0,00202 |
0,002038862 |
1,202645 |
0,295148 |
|
|
[1; 1000000] |
2026 |
0,002026 |
0,002 |
0,002019032 |
1,283317 |
0,34395 |
|
|
[1; 1020000] |
2043 |
0,002003 |
0,00198 |
0,001999781 |
1,130642 |
0,157798 |
|
|
[1; 1040000] |
2063 |
0,001984 |
0,001961 |
0,001981082 |
1,133892 |
0,129668 |
|
|
[1; 1060000] |
2082 |
0,001964 |
0,001943 |
0,001962909 |
1,098654 |
0,063238 |
|
|
[1; 1080000] |
2103 |
0,001947 |
0,001925 |
0,001945238 |
1,166858 |
0,101911 |
|
|
[1; 1100000] |
2123 |
0,00193 |
0,001907 |
0,001928046 |
1,195587 |
0,101258 |
|
|
[1; 1120000] |
2145 |
0,001915 |
0,00189 |
0,001911311 |
1,32396 |
0,201927 |
|
|
[1; 1140000] |
2162 |
0,001896 |
0,001873 |
0,001895015 |
1,229618 |
0,077865 |
|
|
[1; 1160000] |
2184 |
0,001883 |
0,001857 |
0,001879137 |
1,370608 |
0,192382 |
|
|
[1; 1180000] |
2202 |
0,001866 |
0,001841 |
0,00186366 |
1,337144 |
0,130865 |
|
|
[1; 1200000] |
2221 |
0,001851 |
0,001826 |
0,001848567 |
1,355685 |
0,122443 |
|
|
[1; 1220000] |
2241 |
0,001837 |
0,001811 |
0,001833843 |
1,424712 |
0,165603 |
|
|
[1; 1240000] |
2259 |
0,001822 |
0,001796 |
0,001819473 |
1,411875 |
0,126297 |
|
|
[1; 1260000] |
2276 |
0,001806 |
0,001782 |
0,001805443 |
1,362283 |
0,050154 |
|
|
[1; 1280000] |
2296 |
0,001794 |
0,001768 |
0,00179174 |
1,448532 |
0,11207 |
|
|
[1; 1300000] |
2315 |
0,001781 |
0,001754 |
0,00177835 |
1,496724 |
0,135835 |
|
|
[1; 1320000] |
2332 |
0,001767 |
0,001741 |
0,001765263 |
1,465478 |
0,079447 |
|
|
[1; 1340000] |
2351 |
0,001754 |
0,001728 |
0,001752467 |
1,524144 |
0,114608 |
|
|
[1; 1360000] |
2369 |
0,001742 |
0,001715 |
0,001739951 |
1,545768 |
0,112571 |
|
|
[1; 1380000] |
2390 |
0,001732 |
0,001703 |
0,001727705 |
1,695899 |
0,241297 |
|
|
[1; 1400000] |
2404 |
0,001717 |
0,00169 |
0,00171572 |
1,562732 |
0,082873 |
|
|
[1; 1420000] |
2422 |
0,001706 |
0,001678 |
0,001703986 |
1,598883 |
0,096612 |
|
|
[1; 1440000] |
2437 |
0,001692 |
0,001667 |
0,001692495 |
1,51826 |
0,007898 |
|
|
[1; 1460000] |
2459 |
0,001684 |
0,001655 |
0,001681238 |
1,723904 |
0,17863 |
|
|
[1; 1480000] |
2473 |
0,001671 |
0,001644 |
0,001670208 |
1,613222 |
0,044179 |
|
|
[1; 1500000] |
2493 |
0,001662 |
0,001633 |
0,001659396 |
1,745297 |
0,156651 |
|
|
Средняя ошибка |
1,185812 |
||||||
|
Средняя ошибка |
0,280031 |