2.4 Числовые последовательности и конечные суммы
Нахождение значений бесконечных периодических дробей
Пример 1.
Представим периодическую дробь 0, (317) в виде обыкновенной. Обозначим А=0,317317317… Домножим обе части этого равенства на 1000. Получим, что 1000А= 317,317317317… То есть, 1000А=317+А, откуда А=.
Ответ:.
Пример 2.
Представим периодическую дробь 1,3 (17) в виде обыкновенной. Обозначим А=1,317171717…Домножим обе части равенства на 100.
Равенство примет вид 100А=131,7171717… или 100А=130,4+1,3171717… или 100А=130,4+А, откуда А=.
Ответ:.
Сделаем вывод: чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, нужно домножить ее на разрядную единицу, содержащую столько нулей, сколько знаков в периоде. Затем представить полученную дробь в виде суммы, одним слагаемым которой является исходная дробь. Выразив ее, находим нужное представление.
Геометрическая прогрессия
Перевести периодическую дробь в обыкновенную можно, представив эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используя формулу . Для вывода этой формулы можно использовать «метод барона Мюнхгаузена». Это доказательство отличается от доказательства из школьного учебника.
Пусть b1+b2+b3+…=S - сумма членов убывающей геометрической прогрессии. Используя выражение каждого члена прогрессии через первый член и знаменатель, получим
b1+b1q+ b1q2+ b1q3+…=S.
Домножим обе части на q: b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…=Sq.
В левой части прибавим и вычтем b1.
-b1+( b1+ b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…)=Sq,
-b1+S=Sq, откуда, .
Аналогично выводится формула суммы n членов геометрической прогрессии Sn=.
b1+b1q+ b1q2+ b1q3+…+b1qn-1=Sn,
b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn=Snq,
-b1+( b1+ b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn-1)+ b1qn=Snq,
Выражение в скобках равно Sn. Выразим его:
Snq- Sn= b1(qn-1), откуда, Sn=.
Вычисление конечных сумм
Нахождение полезного способа выражения величины через себя может потребовать и более значительных усилий.
Пример 1.Найти сумму Sn=1+2a+3a2+…+nan-1, a?1.
Заметим, что 1=1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1,…, nan-1=(n-1)an-1+ an-1.
Тогда Sn=1+a+a+2a2+ a2+…+(n-1)an-1+ an-1,
Sn=(1+a +a2+…+ an-1)+(a +2a2 +…+(n-1)an-1).
Сумма слагаемых первой скобки - сумма n членов геометрической прогрессии, которая равна . Сумма слагаемых второй скобки дает нам aSn- nan.
Получаем Sn=. Откуда Sn=.
Ответ:
Пример 2. Найти сумму Sn=1+3+6+10+…+.
Можно заметить, что каждое слагаемое в этой сумме - это сумма некоторой арифметической прогрессии. Имеем:
1=1;
3=1+2;
6=1+2+3;
10=1+2+3+4;
…….
=1+2+3+4+…+n.
Сложив по столбцам, находим:
Sn=1•n+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)+…+n(n-(n-1))=
= n+2n+3n+…+n•n-2(1+3+6+ …+) =
=n(1+2+3+…+n)-2(1+3+6+… +)=
=n-2(Sn-).
Следовательно, 3Sn==.
Отсюда получим: Sn= .
Ответ:
- ВВЕДЕНИЕ
- 1 «Метод барона Мюнхгаузена»
- 2 Применение «метода барона Мюнхгаузена» в алгебре
- 2.1 Нахождение значений выражений с бесконечным числом элементов
- 2.2 Нахождение значений выражений и решение уравнений с использованием формулы куба суммы и разности
- 2.3 Нахождение значений
- 2.4 Числовые последовательности и конечные суммы
- 2.5 Решение уравнений с бесконечным числом элементов
- 3 «Метод барона Мюнхгаузена» и золотое сечение
- 4 «Метод барона Мюнхгаузена» и фракталы
- 5 Метод самоподобия в искусстве
- ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- Конкус барона мюнхгаузена.
- Литература к лекции
- Крайние рационалисты и барон Мюнхгаузен
- Активизировать эффект Мюнхгаузена
- 14. Смеховой мир книги немецкого писателя э. Распе "Приключение барона Мюнгхаузена.
- 30. Синдром Мюнхгаузена и другие искусственно-демонстративные расстройства
- Конкурс барона Мюнхгаузена
- Рудольф эрих распе Подвиги барона Мюнхгаузена
- Готфрид август бюргер (gottfried august bürger. 1747-1794)
- Лев Бураков Мюнхгаузен и Оренбург