3 «Метод барона Мюнхгаузена» и золотое сечение

Напомним понятие золотого сечения - это деление отрезка на две неравные части так, что длина большей части относится к длине меньшей части, как относится длина всего отрезка к длине своей большей части. Если обозначить длину большей части через a , а длину меньшей части - b, то золотая пропорция запишется так: . Обозначив x =, получаем равенство x = 1+ , или

. Корень последнего уравнения равен (отрицательный корень не рассматривается из понятных соображений). Это число часто обозначают буквой Ф, в честь древнегреческого скульптора Фидия (V в. до н.э.), применившего «золотое сечение » при проектировании всемирно известного храма Парфенон Афины Парфенос.

Число Ф обладает любопытными математическими свойствами, например:

Ф = (1), Ф = (2),

Ф= (3),

Ф= (4).

Чтобы убедиться в справедливости этих выражений нам поможет наш метод. Выражение вида(1) и (2) называются цепными дробями.

В выражении (2) применяя «метод выражения через само себя», получим

Ф = , откуда Ф2-2Ф+1=0, т.е. Ф=. Аналогично (см. п.2.1) проверяются соотношения (3) и (4).