2.4 Числовые последовательности и конечные суммы

Нахождение значений бесконечных периодических дробей

Пример 1.

Представим периодическую дробь 0, (317) в виде обыкновенной. Обозначим А=0,317317317… Домножим обе части этого равенства на 1000. Получим, что 1000А= 317,317317317… То есть, 1000А=317+А, откуда А=.

Ответ:.

Пример 2.

Представим периодическую дробь 1,3 (17) в виде обыкновенной. Обозначим А=1,317171717…Домножим обе части равенства на 100.

Равенство примет вид 100А=131,7171717… или 100А=130,4+1,3171717… или 100А=130,4+А, откуда А=.

Ответ:.

Сделаем вывод: чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, нужно домножить ее на разрядную единицу, содержащую столько нулей, сколько знаков в периоде. Затем представить полученную дробь в виде суммы, одним слагаемым которой является исходная дробь. Выразив ее, находим нужное представление.

Геометрическая прогрессия

Перевести периодическую дробь в обыкновенную можно, представив эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, используя формулу . Для вывода этой формулы можно использовать «метод барона Мюнхгаузена». Это доказательство отличается от доказательства из школьного учебника.

Пусть b1+b2+b3+…=S - сумма членов убывающей геометрической прогрессии. Используя выражение каждого члена прогрессии через первый член и знаменатель, получим

b1+b1q+ b1q2+ b1q3+…=S.

Домножим обе части на q: b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…=Sq.

В левой части прибавим и вычтем b1.

-b1+( b1+ b1q+ b1q2+ b1q3+ b1q4…)=Sq,

-b1+S=Sq, откуда, .

Аналогично выводится формула суммы n членов геометрической прогрессии Sn=.

b1+b1q+ b1q2+ b1q3+…+b1qn-1=Sn,

b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn=Snq,

-b1+( b1+ b1q+b1q2+ b1q3+ b1q4+…+b1qn-1)+ b1qn=Snq,

Выражение в скобках равно Sn. Выразим его:

Snq- Sn= b1(qn-1), откуда, Sn=.

Вычисление конечных сумм

Нахождение полезного способа выражения величины через себя может потребовать и более значительных усилий.

Пример 1.Найти сумму Sn=1+2a+3a2+…+nan-1, a?1.

Заметим, что 1=1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1,…, nan-1=(n-1)an-1+ an-1.

Тогда Sn=1+a+a+2a2+ a2+…+(n-1)an-1+ an-1,

Sn=(1+a +a2+…+ an-1)+(a +2a2 +…+(n-1)an-1).

Сумма слагаемых первой скобки - сумма n членов геометрической прогрессии, которая равна . Сумма слагаемых второй скобки дает нам aSn- nan.

Получаем Sn=. Откуда Sn=.

Ответ:

Пример 2. Найти сумму Sn=1+3+6+10+…+.

Можно заметить, что каждое слагаемое в этой сумме - это сумма некоторой арифметической прогрессии. Имеем:

1=1;

3=1+2;

6=1+2+3;

10=1+2+3+4;

…….

=1+2+3+4+…+n.

Сложив по столбцам, находим:

Sn=1•n+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)+…+n(n-(n-1))=

= n+2n+3n+…+n•n-2(1+3+6+ …+) =

=n(1+2+3+…+n)-2(1+3+6+… +)=

=n-2(Sn-).

Следовательно, 3Sn==.

Отсюда получим: Sn= .

Ответ: