1.1 Визначення інверсії. Побудова інверсних крапок
Нехай на площині дана деяка коло щ (О, R) (мал. 1)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Мал. 1
Нехай, далі, Р - довільна крапка площини, відмінна від крапки О. Зіставимо їй крапку Рґ, що задовольняла б двом умовам: крапка Рґ лежить на промені ОР;
ОР ОРґ = R2
Таку крапку Рґ ми називаємо інверсній або зворотній крапці Р щодо кола щ. Коло щ називається базисною окружністю інверсії, її центр - центром інверсії, а радіус - радіусом інверсії.
Перетворення, при якому кожній крапці деякої фігури ставиться у відповідність інверсна їй крапка, називається інверсією, а фігура, утворена всіма крапками, інверсними крапками даної фігури, називається інверсної стосовно даної фігури.
Оборотний увага на те, що при R = 1 Орґ= 1/ОР, так що їли крапка Р інверсна крапці Рґ, те відстані ОР і Орґ є взаємно оберненими числами. Із цим звязано те, що крапку Рґ називають зворотній крапці Р, а розглянуте перетворення називається перетворенням зворотних радіусів (відстаней), або ж обігом.
Розглянемо побудову інверсних крапок:
1 випадок.
Якщо крапка Р Є (О,Р ), то Рґ= Р (збігаються).
2 випадок.
Нехай крапка Р поза базисною окружністю.
Побудова.
щ (О, R) і Р - дана крапка.
РК - дотична до кола щ. К Є щ.
Крґ+ОР, Рґ Є ОР, Рґ - інверсна крапці Р. (мал. 2).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Мал. 2.
Доказ.
Розглянемо подібні трикутники ОРК і ОКРґ. З подоби треба:
= або ОР ОРґ = R2
Крапка Рґ Є ОР (по побудові).
3 випадок.
Крапка Р - усередині базисної кола. Тоді побудова виконуємо в зворотному порядку.
Побудова.
щ (О, R) і Р - дана крапка.
РК+ОР, К Є щ.
КР - дотична до кола.
- Введення
- 1. Інверсія як перетворення площини
- 1.1 Визначення інверсії. Побудова інверсних крапок
- 1.2 Властивості інверсії
- 1.3 Лема про антипаралельні прямі
- 1.4 Ступінь крапки щодо кола
- 1.5 Інверсія окружностей, що проходять і не минаючих через центр інверсії
- 1.6 Перетворення прямої при інверсії
- 1.7 Інваріантні кола. Збереження кутів при інверсії
- 1.8 Інверсія й осьова симетрія
- 1.9 Інверсор
- 2. Інверсія і її застосування
- 2.1 Рішення задач на побудову методом інверсії
- 2.2 Задача Аполлонія