2.3 Вычисления с вещественными числами

Намного сложнее обстоит дело с правилами вычисления для вещественных чисел. Чтобы задать вычисления с вещественными числами, то есть, свести их к вычислениям с рациональными, надо определить сечения, соответствующие данным вычислениям. Рассмотрим на примере простейшей арифметической операции - сложения.

Если с есть какое-либо рациональное число, то ты отнесем его к классу , если существуют два числа из и из , такие, что . Все остальные числа отнесем к классу . Это подразделение всех рациональных чисел на два класса образует сечение (, ). Суммой двух чисел и , породивших соответственно разбиения и , назовем число , породившее разбиение (, ). Аналогично определяются сложение, умножение и деление.

Таким образом Дедекинд пришел к тому действительному доказательству теорем и равенств, таких как, например, , которые раньше, по его мнению, строго доказаны не были.

Доказательство различных арифметический свойств, верных для рациональный чисел, также необходимо перенести на случай всех вещественных. Например, простейшее равенство вызывает опасение, что для его доказательства в случае любых действительных чисел придется делать массу отступлений (например, определять различные интервалы между вещественными числами) и производить операции с разного рода сложными структурами. Однако, это не совсем так. Дедекинд в качестве решения подобной проблемы утверждает, что непрерывностью обладают сами операции, и приводит это в форме общей теоремы, которую я позволю себе процитировать: