Иррациональные числа

Наши методисты с полным основанием расценивают введение иррациональных чисел как одну из самых ответственных задач школьного курса алгебры. Учение об иррациональных числах есть во всем курсе математики едва ли не единственный раздел, который в самой науке возник лишь в XIX столетии. Это учение является той необходимой базой, без которой целый ряд разделов школьной алгебры и геометрии вообще не может быть логически обоснован. Это учение знаменует собой такой сдвиг в сознании школьника, который по своей значительности и своим последствиям может быть сравнен только с соответствующим сдвигом, происшедшим в самой математической науке после создания общей теории иррациональных чисел.

Задача введения иррациональных чисел состоит в таком расширении области рациональных чисел, которое позволило бы отнести определенное число каждому  {44}  элементу линейной протяженности, наглядным образом которой служит прямая линия. С геометрической и физической стороны эта задача встает как необходимость приписать определенное число, в качестве его меры, каждому значению величины, меняющейся непрерывным образом. Эта реальная цель общей теории вещественных чисел должна прочно войти в сознание учащихся; она никак не должна подмениваться более специальными заданиями, как, например, достижением однозначной выполнимости всех алгебраических операций (извлечение корней), так как каждая из таких операций приводит к созданию лишь определенных классов иррациональных чисел, не вызывая необходимости построения общей теории. Но именно это и знаменует собой старую систему введения иррациональных чисел, отвергнутую современными программами вследствие ее логической несостоятельности. Так как, если учащийся привык к мысли, что всякое иррациональное число своим происхождением связано с каким-нибудь радикалом, если даже в дополнение к этому он знаком с иррациональным числом как с отношением несоизмеримых отрезков, то доказать такому учащемуся существование предела периметров, вписанных в данную окружность многоугольников при удвоении числа их сторон, разумеется, невозможно; ссылка на «аксиому» о существовании предела у всякой монотонной ограниченной величины здесь ничем не помогает уже потому, что сама эта «аксиома», с точки зрения такого учащегося, просто неверна: среди чисел, связанных с радикалами, такого предела, вообще говоря, не найдется, а других иррациональных чисел в его сознании не существует (ссылка на «отношение отрезков» явилась бы здесь, конечно, в логическом отношении просто отпиской, стремящейся спрятать проблему вместо ее разрешения). Во избежание недоразумений мы должны отметить, что мы вовсе не считаем обязательным доказывать в школьном курсе теорему о существовании предела монотонной ограниченной величины; вполне допустимо принятие этого предложения без доказательства; но прежде чем сделать этот шаг, очевидно, совершенно необходимо расширить числовую область в такой мере, чтобы вводимая аксиома не приводила в ней к противоречиям; именно от этого и уклонялась господствовавшая ранее система изложения; в лучшем случае она,  {45}  вводя некоторый класс иррациональностей в связи с извлечением корней, ограничивалась более или менее расплывчатым указанием на то, что и при других операциях вводятся, в целях обеспечения выполнимости этих операций, аналогичным образом определяемые новые числа, которые также называются иррациональными; после этого построение области иррациональных чисел считалось законченным.

Математическая наука знает очень много логически эквивалентных между собой способов построения теории иррациональных чисел. Наиболее распространенными являются методы, связанные с именами: Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда. В согласии с подавляющим большинством имеющихся по этому поводу высказываний мы полагаем, что ни одна из этих теорий не может быть преподаваема в средней школе. Более того, надо прямо признать, что теории иррациональных чисел в подлинном смысле этого слова средняя школа дать не может; такие моменты, как основные теоремы о множестве вещественных чисел, а тем более определения и свойства действий над этими числами, означали бы в случае разбора их в школе такую перегрузку детского сознания, которая ни к чему хорошему привести бы не могла, в лучшем случае, и то с соблюдением достаточного чувства меры, эти вопросы, вернее некоторые из них, могли бы служить темой внешкольной работы (кружка) в X классе. Но ничего этого наша программа и не требует, ограничиваясь лишь определением иррационального числа. Мы полагаем, что такое определение действительно может быть дано в безукоризненной с научной точки зрения и в то же время полностью доступной сознанию учащихся форме; исключительная важность этого обстоятельства заключается, как мы уже видели выше, в том, что только расширение понятия числа до области всех вещественных чисел способно сделать осмысленной и логически безупречной значительную часть последующих разделов алгебры, геометрии и тригонометрии.

При введении иррациональных чисел задача значительно облегчается координированным действием алгебраических и геометрических стимулов. Поэтому важной предпосылкой успешного прочного усвоения этого раздела является то, чтобы потребность в расширении области рациональных чисел в алгебре и геометрии возникла  {46}  одновременно, что и должно быть непременно предусмотрено программой.

Естественным формальным аппаратом введения иррациональных чисел являются, конечно, десятичные дроби. Первым иллюстрирующим примером может служить, как обычно, опрелеление √2 (числа, квадрат которого равен 2). Как обычно, доказывается несуществование искомого числа в области рациональных чисел и показывается желательность введения такого числа в целях измерения отрезка, который, естественно, можно построить в геометрии. На числовой прямой от точки О вправо откладывается длина этого отрезка. Это приводит к точке, которой при обычном расположении рациональных чисел на числовой прямой никакого числа не соответствует. Указываются связанные с этим затруднения; говорится, например, о том, что при движении точки по прямой желательно каждое положение точки на прямой, каждое пройденное ею расстояние измерить, охарактеризовать некоторым числом, т. е. каждой точке прямой отнести некоторое число. Рациональных чисел для этого, как видно из приведенного примера, недостаточно; можно указать сейчас же и сколько угодно других точек, для которых не хватит рациональных чисел (простейший пример — середина отрезка, о котором шла речь «выше). Далее следует напомнить о том, что мы уже не раз вводили новые числа, когда для той или другой практической цели нам не хватало старых; очевидно, мы должны так же поступить и в данном случае.

После этого можно вернуться к рассматриваемому примеру и обычным путем определить два ряда конечных десятичных дробей с возрастающим числом знаков, квадраты которых соответственно меньше и больше числа 2. Теперь наступает решительный шаг: мы вводим новое число, измеряющее интересующий нас отрезок; мы показываем, что это число естественно представлять бесконечной десятичной дробью; мы доказываем, что эта дробь не может быть периодической; наконец (это гораздо менее важно), мы для краткости обозначаем новое число через √2.

Мы хотим подчеркнуть существенность точного соблюдения указанной здесь терминологии. В отличие от большинства других авторов мы считаем целесообразным  {47}  избегать выражения «иррациональное число есть бесконечная десятичная дробь (непериодическая)», а предпочитаем говорить, что иррациональное число изображается или представляется такой дробью; полное отождествление числа с изображающим его символом мы и здесь, как во всех случаях, считаем неприемлемым, так как с философской стороны это означало бы явный уклон в номинализм¹, а с математической привело бы к несообразностям, так как для изображения одного и того же числа мы можем пользоваться различными алгоритмами, что одно уже показывает невозможность идентификации² числа с тем или другим изображающим его алгоритмом.

После того как введение иррационального числа проведено на примере, можно непосредственно перейти к общему определению, повторив всю конструкцию для любой точки числовой прямой, не имеющей рациональной отметки.. Затем надо провести обратное рассуждение, имеющее целью убедить учащихся, что всякой непериодической бесконечной десятичной дроби соответствует единственное иррациональное число (единственная точка без рациональной отметки), изображением которой служит эта дробь. После этого все иррациональные числа определены, фундамент здания заложен. Научность этого определения лучше всего доказывается тем, что, исходя из него, можно строго доказать все теоремы об иррациональных числах, определить действия над этими числами и установить свойства этих действий. Доступность его не вызывает сомнений, в особенности при неотрывном пользовании геометрической иллюстрацией.

Как уже сказано выше, дальнейшее развитие учения об иррациональных числах в основном превышает возможности средней школы. О простейших действиях над иррациональными числами учащимся могут быть сообщены лишь самые примитивные сведения (так, можно на примере показать сложение двух непериодических бесконечных десятичных дробей; можно указать на  {48}  геометрический смысл сложения двух любых положительных чисел как получения длины составного отрезка по длинам составляющих). Но учащимся должно быть с исчерпывающей отчетливостью указано, что для иррациональных чисел все алгебраические действия могут быть разумным образом определены и что наука доказывает сохранение для этих действий всех основных свойств, которыми обладают действия над рациональными числами.