Заключение

Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя.

Название, по одной версии, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flдche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). По другой версии, название обязано тому обстоятельству, что простейшее наглядное изображение данной поверхности в пространстве напоминает по форме бутылку.

Чтобы сделать бутылку Клейна, необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Основными свойствами бутылки Клейна являются:

1. Подобно ленте Мебиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

2. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство , но вкладывается в .

3. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.

4. Хроматическое число поверхности равно 6.

5. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).

Таким образом, бутылка Клейна - геометрическое тело, полученное склейкой двух листов Мебиуса по их краю. Представляет собой подобие тора, однако в отличие от последнего перекручена на один поворот таким образом, что при обходе поверхности бутылки Клейна гипотетический путешественник возвратится зеркально отражённым.

Список использованной литературы

1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1983. - 160 с.

2. Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / перевод с немецкого С.А. Каменецкого. - М.: Объединенное научно-техническое издательство, 1936. - 305 с.

3. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. - М.: ЛКИ, 2007. - 72 с.

4. Новиков С.П. Топология. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 336 с.

5. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. - М.: ЧеРо, 1998. - 416 с.