Бутылка Клейна

Бутылка Клейна - определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем [1, с. 94].

Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мебиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя.

Название, по одной версии, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flдche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). По другой версии, название обязано тому обстоятельству, что простейшее наглядное изображение данной поверхности в пространстве напоминает по форме бутылку.

Для того, чтобы убедиться в тесноте связи бутылки Клейна с лентой Мебиуса рассмотрим лист Мебиуса на рис. 1. Он получается склейкой противоположных сторон квадрата с изменением ориентации. Оказывается, склеивая его с диском, мы получим проектную плоскость.

Рис. 1. Лист Мебиуса

Лемма 1. Проективная плоскость гемеоморфна, получающемуся склейкой листа Мебиуса с обычным диском по их общей границе. Другими словами, выбрасывая из двумерный диск, мы получаем лист Мебиуса. Условно этот факт запишем так [5, с. 84]:

. (1)

Доказательство. На рис. 2 показана модель проективной плоскости в виде квадрата со склейками abab. Докажем, что, выбрасывая диск из , мы получаем лист Мебиуса. Так как - гладкое замкнутое многообразие, то все равно, где брать центр выбрасываемого диска. В данный момент все точки проективной плоскости равноправны. Выберем точку на середине стороны а. Диск с центром в этой точке изобразится двумя своими полудисками (показаны черным на рис. 2), склеенными по диаметру. Выбрасывая этот диск, мы поучаем после распрямлении оставшихся углов квадрат, ?две противоположные стороны которого склеены с изменением ориентации Лемма доказана.

Рис. 2. Модель проективной плоскости в виде квадрата со склейками abab

При классическом (обычном) вложении листа Мебиуса в его граница, т.е. окружность, вложена так, что она два раза обходит вокруг вертикальной оси (рис. 3).

Рис. 3. Классическое (обычное) вложение листа Мебиуса

Попытаемся продеформировать лист Мебиуса в так, чтобы упростить вложение его границы. А именно добьемся, чтобы граница листа Мебиуса изображалась обычной плоской окружностью, т.е. расположенной в некоторой плоскости. За это нам придется заплатить усложнением изображения самого листа Мебиуса. Как именно он расположится? Оказывается, ответ дается рис. 3. Фигура, изображенная здесь, очевидно получается из модели проективной плоскости на рис. 4 отсечением от нее нижней чашечки плоскостью, ортогональной плоскости книжного листа. Отрезая чашечку, мы фактически выбрасываем диск из проективной плоскости. Оставшаяся часть (с самопересечением) иногда называется скрещенным колпаком. Итак, скрещенный колпак - это просто лист Мебиуса, расположенный в так, что его граница - стандартная плоская окружность [5, с. 86].

Рис. 4. Фигура, полученная из модели проективной плоскости отсечением от нее нижней чашечки

Лемма 2. Бутылка Клейна получается склейкой двух листов Мебиуса по их границе. Другими словами, разрезая бутылку Клейна по подходящей окружности, мы получаем два листа Ме6иуса. Условно этот факт запишем так:

. (2)

Доказательство. Берем квадрат со склейками abab-1, изображающий бутылку Клейна. На середине стороны а отметим точку 1/2 и соединим ее с вершинами квадрата так, как показано на рис. 5.

Рис. 5. Получение бутылки Клейна

Затем разрежем квадрат по этим двум линиям. В результате получим параллелограмм и два треугольника. Параллелограмм, очевидно, является листом Мебиуса. Склеивая два треугольника по их общей стороне b, получаем второй лист Ме6иуса. Лемма доказана.

Как изобразить эту линию разреза на бутылке Клейна, погруженной в (рис. 6)?

Рис. 6. Линия разреза на бутылке Клейна, погруженной в

Необходимо внимательно проследить по рис. 5 и 6 движение линии разреза. Итак, разрезая бутылку Клейна, как показано на рис. 7, получаем два листа Мебиуса. Каждый из них погружен в (с самопересечением). Следовательно, эта модель листа Мебиуса - более регулярная (более хорошая), чем в виде скрещенного колпака, который не является погружением ?листа Мебиуса. Ответив, что обнаруженное нами погружение листа Мебиуса замечательно тем, что его граница погружена в плоскость, т.е. его граница является плоской кривой (с самопересечением) [5, с. 87].

Рис. 7. Образование двух листов Мебиуса

Согласно лемме 1 проективная плоскость получается заклейкой листа Мебиуса двумерным диском. Доказав лемму 2, мы построили погружение листа Мебиуса такое, что его граница - плоская окружность. Воспользуемся этим погружением, чтобы продолжить его до погружения всей проективной плоскости. Будем считать, что этот лист Мебиуса, погруженный в , является частью проектной плоскости. Чтобы погрузить всю проективную плоскость, ?достаточно добавить диск, т.е. заклеить плоскую границу листа Мебиуса погруженным диском. Итак, мы приходим к следующей задаче. Дана плоская кривая , показанная на рис. 8 и являющаяся погружением окружности в плоскость [2, с. 103].

Рис. 8. Плоская кривая

Как заклеить ее погруженным диском? Пусть - плоскость, содержащая границу листа Мебиуса (рис. 9).

Рис. 9. Плоскость, содержащая границу листа Мебиуса

Начнем перемещать эту плоскость, поднимая ее вверх параллельно самой себе. Получим семейство плоскостей , зависящих от параметра t, где . Одновременно с подъемом плоскости начнем гладко деформировать в ней исходную плоскую кривую . Получим семейство кривых . С изменением t эти кривые образуют некоторую двумерную поверхность (заметают поверхность). Опишем процесс деформации кривой в кривые . Он показан на рис. 10.

Эта плавная деформация приводит к тому, что кривая сползает с себя и получается кривая уже без самопересечения, т.е. окружность, стандартно вложенная в плоскость. При подъеме плоскости эта деформирующаяся кривая заметает некоторую поверхность. В тот момент, когда кривая превратилась в окружность, мы заклеиваем ее гладким диском. Итак, мы заклеили лист Мебиуса диском, т е получили модель проективной плоскости. В то же время мы, очевидно, построили погружение ее в . Как устроено множество точек самопересечения этого погружения?

Рис. 10. Процесс деформации кривой в кривые

Из рис. 10 следует, что это множество состоит из трех окружностей, склеенных в одной точке. В результате мы получили некоторую поверхность в пространстве, изображающую погруженную проективную плоскость. Эта реализация проективной плоскости называется поверхностью Боя. Можно нарисовать ее в . Для этого представим проективную плоскость как результат отождествления противоположных точек на границе ??правильного шестиугольника (см. рис. 11) [5, с. 89].

Соответствующий код выглядит так: abcabc. Ясно, что шестиугольник с такими отождествлениями, эквивалентен диску, на границе которого отождествлены противоположные точки. Как и раньше, превратим шестиугольник в сферу, из которой вырезан шестиугольник (рис. 11). На сторонах шестиугольника расставлены буквы и стрелки, задающие склейку. Разрежем сферу на три дольки меридианами q, d, p (рис. 11). В результате сфера развалится на три конгруэнтных куска, т.е. совмещающихся друг с другом при подходящем повороте.

Рис. 11. Проективная плоскость на границе правильного шестиугольника

Возьмем один из них, например заключенный между меридианами q и d (рис. 12).

Рис. 12. Деление сферы на три конгруэнтных куска

Обратим внимание на три острия, поднимающиеся вверх. Склеим их в одной точке, которую обозначим через N (аналог северного полюса сферы). Отметим, что эта склейка не требуется с точки зрения топологии проективной плоскости, однако, как далее будет видно, мы вынуждены склеивать указанные точки, поскольку пытаемся реализовать проективную плоскость в трехмерном пространстве. Результат см. на рис. 12, шаг 2.

Теперь фиксируем два меридиана q, d, а петлю а поднимаем вверх, как показано на рис. 12, шаг 3. Следующие шаги представлены на рис. 12 (III): 5, 6. Аналогичные деформации мы выполним и для двух остальных долек первоначальной поверхности. В результате мы получаем три конгруэнтные фигуры. Возьмем вторую дольку. Пусть соответствующие буквы на ней помечены штрихом. Совместим часть границы первой дольки с частью границы второй дольки. ?Для этого совместим дугу с q, причем так, чтобы точка совпала с S, а точка - с точкой N. Следовательно, петля совпадет с петлей с. Какова граница получившейся поверхности, т.е. склейки двух долек? Ясно, что граница состоит из дуг q, а, с, d. Чтобы этот процесс стал более наглядным, обратимся к исходному шестиугольнику, на котором отметим все ?участвующие в склейках разрезы (рис . 13).

Рис. 13. Исходный шестиугольник

Три ребра этого шестиугольника, исходящие из его центра, снабжены парой букв, что показывает, какие ребра склеиваются при восстановлении проективной плоскости из трех долек. На рис. 12, шаг 6 показана вертикальная пунктирная ось симметрии третьего порядка. Это означает, что при повороте фигуры вокруг этой оси на угол ребро d совпадет с q, а петля а - с петлей с. Итак, добавляем к двум уже склеенным долькам последнюю третью дольку в соответствии со склейками, задаваемыми шестиугольником на рис. 13. В результате получается поверхность Боя (рис. 14 (I)) [2, с. 108].

Отчетливо видно, что мы построили погруженную поверхность, т.е. при изменении точки по поверхности касательная плоскость в этой точке меняется непрерывно (и гладко). Поверхность не имеет никаких изломов и других особых точек. Она имеет только несколько линий самопересечения, которые организованы в три петли. В окрестности каждой точки на этих петлях, отличных от точки N (центра ?фигуры), пересекаются два листа поверхности. На рис. 14 (II) показана поверхность Боя с четырьмя «окнами». Далее рассмотрим более сложный плоский многоугольник, на сторонах которого расставим буквы и стрелки в соответствии с кодом . С алгебраической точки зрения мы перемножили два коммутатора и .

Рис. 14. Поверхность Боя

Один коммутатор задает тор. Эта аналогия с алгебраическими объектами не исчерпывается внешним сходством, а является следствием глубоких связей слова - когда W с фундаментальной группой многообразия. Выполним все склейки, требуемые словом-кодом W (рис. 15). Полученное многообразие называется кренделем рода 2, или просто кренделем [5, с. 91].

Рис. 15. Склейки, требуемые словом-кодом W

Оно допускает другое представление, описываемое ниже. Сначала напомним операцию приклейки ручки. Ручка - это обычный цилиндр (рис. 16).

Рис. 16. Операция приклейки ручки

Его край - две окружности. Выбросим из двумерного многообразия два непересекающихся диска, получим многообразие с краем (две окружности). Приклеим цилиндр к этому многообразию, отождествив его граничные окружности с краями дырок в многообразии. Эту операцию, дающую нам некоторое новое многообразие, назовем приклейкой ручки.

Лемма 3. Тор получается из сферы приклейкой одной ручки Крендель гомеоморфен сфере с двумя ручками.

Доказательство показано на рис. 17.

Рис. 17. Доказательство получения тора из сферы приклейкой одной ручки Крендель гомеоморфен сфере с двумя ручками

Условно будем обозначать приклейку ручки так тор = Т2 = S2 + r, крендель = S2 + 2r, где r обозначает ручку. Ясно, что теперь можно построить бесконечную серию многообразий, приклеивая к сфере произвольное количество ручек (рис. 18).

Рис. 18. Построение бесконечной серии многообразий

Получаем первую серию двумерных многообразий . Целое неотрицательное число g называется родом поверхности. Эти многообразия можно представить как результат склейки многоугольников по аналогии с тем, как это было продемонстрировано выше для тора и кренделя. Рассмотрим 4g-угольник на плоскости, на сторонах которого расставлены буквы в соответствии с кодом

, (3)

т.е. перемножим g коммутаторов.

Лемма 4. Многообразие, полученное склейкой сторон 4g-угольника в соответствии с указанным кодом Wg, гомеоморфно сфере с g ручками.

Итак, число коммутаторов в слове-коде Wg совпадает с родом поверхности. Представляем простую проверку следующего утверждения: все многообразия ориентируемы и замкнуты.

Укажем вторую бесконечную серию ?2-многообразий. Сначала переформулируем леммы 1 и 2. Определим операцию приклейки листа Мебиуса (или пленки Мебиуса). Выбросим из многообразия диск, затем вклеим лист Мебиуса по некоторому гoмеоморфизму его границы и границы получившейся дырки (рис. 19) [5, с. 93].

Рис. 19. Определение операции приклейки листа Мебиуса

Лемма 5. Проективная плоскость гомеоморфна сфере с одной пленкой Мебиуса. Бутылка Клейна гомеоморфна сфере с двумя пленками Мебиуса.

Доказательство сразу следует из лемм 1 и 2 и определения операции приклейки пленки Мебиуса. Приклейку к сфере k пленок Мебиуса будем условно обозначать так: , где . Все эти многообразия неориентируемы. В самом деле, воспользуемся определением ориентируемости в терминах ориентации репера, переносимого вдоль замкнутого пути на многообразии. Возьмем на многообразии , где замкнутый путь , проходящий ровно по одному листу Мебиуса (рис. 20) [2, с. 110].

Рис. 20. Замкнутый путь , проходящий по одному листу Мебиуса

Мы утверждаем, что при движении касательного репера вдоль пути ориентации репера после возвращения в начальную точку заменится на противоположную. Этот факт показан на рис. 20.

Итак, мы обнаружили две бесконечные серии 2-многообразий: (сферы с ручками, ), (сферы с пленками Мебиуса, ). Многообразия 1-й серии ориентируемы, а 2-й - неориентируемы. Поэтому многообразия из разных серий не гомеоморфны, так как ориентируемость - инвариант гомеоморфизма.

?Возникает естественный вопрос почему мы до сих пор не говорили здесь о смешанной серии многообразий, когда к сфере приклеиваются одновременно и ручки и пленки Мебиуса? Оказывается, такая смешанная приклейка ничего нового не дает: получаются многообразия из 2-й серии.

Лемма 6. Многоо6разие вида , т.е. полученное из сферы приклейкой g ручек и k пленок Ме6иуса (где ), гомеоморфно многообразию , т.е. одному из многообразий 2-й неориентируемой серии.

Доказательство. Рассмотрим бутылку Клейна и продеформируем ее в трехмерном пространстве, как показано на рис. 21 [5, с. 94].

Рис. 21. Деформация бутылки Клейна ее в трехмерном пространстве

Таким образом, ее можно представить как сферу, к которой приклеена ручка, но приклейка эта - не такая, как было определено выше на рис. 16, а «вывернутая», т.е. мы приклеили к сфере вывернутую ручку. При такой операции одна подошва ручки приклеивается к сфере снаружи, а другая - изнутри. В результате мы получаем поверхность с самопересечением, так как в трехмерном пространстве невозможно попасть снаружи сферы внутрь, не пересекая при этом сферы. Это вызвано лишь трехмерностью пространства. Если бы мы вышли в четырехмерное пространство, то в нем приклейку вывернутой ручки можно было бы осуществить без самопересечения поверхности. В частности ?бутылку Клейна можно гладко вложить (т.е. без самопересечений) в . Это, впрочем, гарантируется и теоремой Уитии. Итак, бутылка Клейна гомеоморфна сфере с вывернутой ручкой. С другой стороны, бутылка Клейна гомеоморфна сфере с двумя пленками Мебиуса. Сопоставляя эти факты, получаем утверждение: приклейка к поверхности одной вывернутой ручки эквивалентна приклейке к поверхности двух пленок Мебиуса.

Рассмотрим теперь сферу, к которой приклеены как ручки, так и пленки Мебиуса. Для простоты ограничимся случаем, когда имеется одна ручка и одна пленка Мебиуса (рис. 22).

Рис. 22. Сфера, к которой приклеены как ручки, так и пленки ?Мебиуса

Рассмотрим на поверхности замкнутый путь , начинающийся на одной из подошв ручки, проходящий затем по оси пленки Мебиуса и возвращающийся в исходную точку. Осуществим следующую деформацию (гомеоморфизм) поверхности.

Начнем перемешать подошву ручки вдоль пути , предварительно фиксировав первую подошву. Из рис. 22 видно, что ручка начнет деформироваться, если одна из ее подошв подойдет к листу Мебиуса, выйдет на него, пройдет вдоль его оси и, сойдя с листа Мебиуса, перевернется, т.е. ручка вывернется. При дальнейшем движении подошвы вдоль пути мы вернем ее на прежнее место. Но теперь ручка вывернулась. Этот процесс можно продемонстрировать на другом, более наглядном чертеже (рис. 23) [2, с. 112].

Рис. 23. Деформация поверхности

Ясно, что при движении подошвы вдоль оси листа Мебиуса направление нормали к листу Мебиуса заменится на противоположное, что вызовет выворачивание ручки. Но так как вывернутая ручка эквивалентна двум листам Мебиуса, то мы можем теперь заменить ручку и лист Мебиуса тремя листами Мебиуса (не меняя поверхности). Итак, каждая ручка в присутствии хотя бы одного листа Мебиуса превращается в два листа. Мебиуса. Отсюда, очевидно, следует лемма 6.

Таким образом, мы доказали тесную связь бутылки Клейна с лентой Мебиуса и вложениями проективной плоскости, например поверхностью Боя.