1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию называют -кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого - -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного называют тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп , что: 1) ; 2) для любых групп и и любого эпиморфизма имеет место и
Тотально насыщенную формацию называют -замкнутой, если для любой группы . -Замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией (или, иначе, -критической), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп .
Пусть - -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не -группой, если , но для любой собственной подгруппы из .
Для всякой совокупности групп через обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп , т.е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если , то называют однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций и полагают . Частично упорядоченное по включению множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует полную решетку. Формации из называют -формациями. Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным. Если - -формация, то через обозначают её минимальный -значный локальный экран.
Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют следующим образом:
1) ; 2) .
Последовательность простых чисел называют подходящей для , если и для любого число . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через . Символом обозначают совокупность всех таких последовательностей из , у которых при всех .
Пусть - некоторая подходящая для последовательность. Тогда -значный локальный экран определяют следующим образом:
1) ; 2) .
В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.