О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

3. Основные результаты

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.

Напомним, что группу называют -разрешимой, если для каждого ее главного -фактора . Пусть - формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Доказательство. Необходимость. Пусть - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где - такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) - группа простого порядка ;

2) - неабелева группа и , где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где - совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то - неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность. Пусть , где - группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где - совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку и , то . Следовательно, - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где - монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.

Если - тривиальный подгрупповой функтор, т.е. из теоремы 3.1 вытекает

Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где - монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.

В случае, когда - совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем

Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда - минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда - минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда - минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где - простая неабелева минимальная неразрешимая группа.

Если - совокупность всех нормальных подгрупп группы имеем

Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда - минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда - минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где - простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда - минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где - простая неабелева группа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -нильпотентные формации.

Группа называется -нильпотентной, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу для каждого . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где - не -нильпотентная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть формацию всех -нильпотентных групп.

Необходимость. Пусть - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место , где - такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) - группа простого порядка ;

2) - неабелева группа и , где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где - совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то первые два случая невозможны. Поэтому - абелева -группа, где . По лемме 2.2 имеем . Поэтому , где - группа простого порядка. Таким образом, - не -нильпотентная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где - не -нильпотентная группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где - минимальная нормальная -подгруппа группы , а - группа простого порядка . Так как группа и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, и -нильпотентны, то - -минимальная не -нильпотентная группа и - -нильпотентный корадикал группы . Используя теперь теорему 1 заключаем, что - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.

Используя теорему 2, получим

Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где и - различные простые числа, .

В случае, когда из теорем 3.2 и 2 вытекают

Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где - не -нильпотентная группа Шмидта.

Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где - отличное простое число.

Если теперь - множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где - некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где и - различные простые числа.

Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где и - различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.

Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где - не -замкнутая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.

Необходимость. Пусть - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где - такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) - группа простого порядка ;

2) - неабелева группа и , где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где - совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Так как , то . Если - неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем . Значит, Противоречие. Поэтому - абелева -группа, где . Значит, для некоторой максимальной подгруппы группы . В силу леммы 2.3 получаем, что - -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем . Так как , то - группа простого порядка . Таким образом, - не -замкнутая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где - не -замкнутая группа Шмидта. Так как - насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что . Поэтому , где - минимальная нормальная -подгруппа , , - группа простого порядка . Так как группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то - -минимальная не -замкнутая группа и её -замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где и .

В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает

Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где - не -замкнутая группа Шмидта.

Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где - отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -специальные формации.

Группа называется -специальной, если она обладает нильпотентной нормальной -холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных групп совпадает с классом и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.4. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где - не -специальная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть обозначает формацию всех -специальных групп.

Необходимость. Если - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, то по теореме 1 имеет место , где - такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) - группа простого порядка ;

2) - неабелева группа и , где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где - совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то случай 1) не имеет место и . Если - неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем . Поэтому и . Пусть и . Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение. Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, - абелева -группа. Так как имеют место равенства , то , где - группа порядка . Таким образом, - не -специальная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где - не -специальная группа Шмидта. Тогда . Поскольку - насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где - минимальная нормальная -подгруппа , а - группа простого порядка . Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то - -минимальная не -специальная группа и её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.

Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где и - различные простые числа, .

В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает

Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где - не -специальная группа Шмидта.

Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где - отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.

Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.

Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.5. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где - не -разложимая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через формацию всех -разложимых групп.

Необходимость. Пусть - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где - такая группа Шмидта, что . Таким образом, - не - разложимая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где - не -разложимая группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации можно считать, что . Значит, , где - минимальная нормальная -подгруппа , а - группа простого порядка. Поскольку группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то - -минимальная не -разложимая группа и её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где .

В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает

Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где - не -разложимая группа Шмидта.

Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где - отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.

Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей совпадает с произведением (число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.6. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где - минимальная не -группа, - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и - группа простого порядка.

Доказательство. Обозначим через формацию .

Необходимость. Пусть - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация. По теореме 1 , где - такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) - группа простого порядка ;

2) - неабелева группа и , где - совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где - совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то случай 1) невозможен. Если группа неабелева, то по лемме 2.1 , что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа разрешима, то , где - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть - разрешимая формация. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где - минимальная не -группа, - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и - группа простого порядка.

Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .

Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть - разрешимая формация. Тогда и только тогда - минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .

Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания -критических формаций и в случаях, когда формация не является тотально насыщенной.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.

Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением , где - класс всех нильпотентных, а - класс всех абелевых групп. Формация не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Следовательно, любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим

Теорема 3.7. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где - некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где и - различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.

Пусть формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация не является тотально насыщенной. Однако содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Поэтому любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место

Теорема 3.8. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда , где - некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда - минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда , где и - различные простые числа.

Содержание