2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S - положительное полукольцо;
2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S
(a+b M) (a M & b M).
Доказательство:
12. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:
.
В левой части последнего равенства - элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
21. Пусть выполнено 2 и с - произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:
Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда
,т.к.. Получили y=1 и значит .
Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,
Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.
Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.
III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.
Доказательство.
Полукольцо положительно, следовательно, элемент - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.
В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.
и - обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.
IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S - дистрибутивная решетка.
2.
Доказательство.
. Очевидно.
. По свойству 2 следует , тогда:
и .
Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1 - единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый элемент u,
и
VI. Пусть a - фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:
1. a+1=1;
2.
3.
Доказательство.
. Докажем методом математической индукции по числу n.
I. База. к=1. (выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
и a+1=1
Из I и II Следует .
. .
Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.
Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2
верно, но совсем неверно.
VII. Если S - полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать .
Имеем . Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :
В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:
Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 - 3.
VIII. Пусть S - ограниченное полукольцо, и существует такое , что для всех . Тогда:
1. для всех ;
2. - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I - множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияопределяется так:
.
Доказательство.
1. Возьмем .
Тогда , т.к. .
Для доказательства понадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
.
Доказательство: ММИ по числу n в .
I. База. n=1. Из условия ограниченности
II. И.П. n=i-1.
Из условия II и ограниченности:
.
По ИП:
Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.
Рассмотрим :
Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо (1 группа), либо (2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии и лемме 1. из группы 1 останется только элемент
Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем
2 .Прежде всего проверим замкнутость операций и + на множестве I.
(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент
Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.
С другой стороны
Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.
b). 1 - нейтральный элемент:
с). Коммутативность:
,
1.
2.
Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:
(4)
Все аксиомы полукольца доказаны, а значит - коммутативное полукольцо и его элементы - элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо - ограничено.
IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
,
то S - аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
Рассмотрим t>1
Рассмотрим t=1,
…
т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X. В положительном полукольце S справедливо следующее тождество:
Доказательство.
Домножим на обратный к :
Получим:
"right">Что и требовалось доказать.- Определение множества (ограниченного) на числовой прямой, измеримого по Лебегу. Примеры измеримых по Лебегу множеств на прямой.
- К повреждениям с одновременным нарушением непрерывности переднего и заднего полуколец таза относятся (из перечисленных):
- 10.Полукольца мн-в и мера на полукольцах. Св-ва
- Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- 43. Теорема (о прямом произведении полуколец).
- 10. Кольца и полукольца множеств.
- 2.1..Коренные и шатунные подшипники, полукольца.
- 24. Рациональные и алгебраические языки над полукольцами.
- Повреждения с одновременным нарушением непрерывности переднего и заднего полуколец (типа Мальгеня)
- § 6. Замкнутые полукольца