Положительные и ограниченные полукольца
1.3. Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, bI, sS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.
Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS - левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .
Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .
Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:
1. {0} - нулевой идеал;
2. S - идеал, совпадающий со всем полукольцом;
3. Идеал на полукольце : ;
4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .
Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».
2.1. Определение, примеры и основные свойства.
Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е..
Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
1. ограниченные дистрибутивные решетки;
2. полукольца непрерывных R+ - значных функций;
3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо - частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных полуколец:
1. ограниченные дистрибутивные решетки;
2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.