1.2 Примеры
Покажем на примерах работу по методу Остроградского:
1. Вычислить интеграл:
Разложим правильную рациональную алгебраическую дробь на сумму простейших дробей:
Следовательно,
Последний интеграл вычислим применяя метод Остроградского:
Дифференцируем и приводим к общему знаменателю:
Получаем:
1. Вычислить интеграл:
Подынтегральная функция - неправильная рациональная дробь. Разделив многочлен на многочлен , получим частное и остаток Следовательно, данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби следующим образом:
Многочлен имеет действительный корень Разделив на , получим
Трёхчлен не имеет действительных корней, поэтому разложение полученной правильной рациональной дроби на элементарные имеет вид:
Из равенства дробей следует равенство многочленов:
Положив здесь, получим , . Приравняв коэффициенты при и свободные члены многочленов, получим:
откуда , . Таким образом, подынтегральная функция представима в виде:
Cледовательно:
Ответ:
2. Вычислить интеграл:
В этом случае многочлен, поэтому
Следовательно, существуют многочлены второй степени
Для которых верно равенство:
Рациональную дробь удобно сразу представить в виде суммы элементарных дробей и переписать формулу Остроградского:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:
Решая эту систему, находим , , , , ,
Ответ:
- 14. Интегрирование рациональных алгебраических и тригонометрических выражений.
- 15.Методы интегрирования: Интегрирование методом замены переменных, Интегрирование по частям, Интегрирование рациональных функций.
- Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- Интегрирование дробно-рациональных выражений
- Интегрирование специальных классов функций Интегрирование рациональных дробей
- Метод непосредственного интегрирования. Теорема об инвариантности формул интегрирования.
- Интегрирование иррациональных выражений
- 8. Интегрирование тригонометрических выражений.
- Интегрирование рациональных выражений.