1.2 Примеры

Покажем на примерах работу по методу Остроградского:

1. Вычислить интеграл:

Разложим правильную рациональную алгебраическую дробь на сумму простейших дробей:

Следовательно,

Последний интеграл вычислим применяя метод Остроградского:

Дифференцируем и приводим к общему знаменателю:

Получаем:

1. Вычислить интеграл:

Подынтегральная функция - неправильная рациональная дробь. Разделив многочлен на многочлен , получим частное и остаток Следовательно, данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби следующим образом:

Многочлен имеет действительный корень Разделив на , получим

Трёхчлен не имеет действительных корней, поэтому разложение полученной правильной рациональной дроби на элементарные имеет вид:

Из равенства дробей следует равенство многочленов:

Положив здесь, получим , . Приравняв коэффициенты при и свободные члены многочленов, получим:

откуда , . Таким образом, подынтегральная функция представима в виде:

Cледовательно:

Ответ:

2. Вычислить интеграл:

В этом случае многочлен, поэтому

Следовательно, существуют многочлены второй степени

Для которых верно равенство:

Рациональную дробь удобно сразу представить в виде суммы элементарных дробей и переписать формулу Остроградского:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:

Решая эту систему, находим , , , , ,

Ответ: