1.1 Алгоритм Евклида

Пусть необходимо найти НОД многочленов и . Не ограничивая общности, будем считать, что степень не выше степени .

Многочлен представим в виде:

где - остаток от деления на . Тогда степень меньше степени делителя .

Далее, в результате деления на получим:

Причем степень меньше степени делителя .

При каждом делении степень остатка будет снижаться по крайней мере на единицу, поэтому на определенном шаге мы получим нулевой остаток, т.е.

Последний отличный от нуля остаток является наибольшим общим делителем многочленов и .

Достаточно доказать два утверждения:

1) Многочлены и делятся на , т. е. один из делителей и ;

2) Многочлен делится на любой делитель многочленов и , т.е. наибольший общий делитель указанных многочленов.

Для доказательства первого утверждения заметим, что в силу , а тогда, в силу , делится на .

Поднимаясь вверх по цепочке равенств мы докажем, что и делятся на .

Докажем второе утверждение.

Пусть - произвольный делитель многочленов и . В силу равенства делится на , а тогда, в силу равенства (2), делится на . Опускаясь по цепочке равенств (1) - (k), докажем, что x делится на .

Итак, метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от правильной дроби не связан непосредственно с операцией интегрирования и состоит в сочетании нахождения НОД знаменателя этой дроби и его производной с методом неопределённых коэффициентов. Но методом Остроградского удобно находить и трансцендентную часть этого интеграла, так как при этом приходится интегрировать более простую правильную дробь, знаменатель которой имеет лишь простые нули. Поэтому интегрирование можно свести в итоге к нахождению интегралов от простейших дробей только первого и третьего типов.

Комментарий:

НОД - наибольший общий делитель

Алгоритм метода неопределённых коэффициентов:

1. Раскладываем знаменатель на множители.

2. Раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

· Если в знаменателе что-то вроде: , количество линейных множителей роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого типа:

· Если в знаменателе что-то вроде: , количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого и второго типов:

a, b, c - числа, - неопределенные коэффициенты. Какая степень - столько и слагаемых.

· Если в знаменателе что-то вроде: количество квадратичных выражений роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего типа:

p, q, r и s - числа, P, Q, R и S - неопределенные коэффициенты.

· Если в знаменателе что-то вроде: , количество множителей роли не играет и не играBBBют роли степени этих множителей, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего и четвертого типов:

p, q, r и s - числа, - неопределенные коэффициенты.

· Если собрать все: ,то дробь представится в виде суммы простейших дробей всех четырех типов:

3. Приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.

4. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х. При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:

5. Решаем полученную систему уравнений любым способом (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры), который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты.