2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .
Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику
(2.1)
где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а
(2.2)
s - целое число, - целая часть числа .
Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
(2.3)
определено равенством (2.2).
Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде
(2.4)
где некоторые действительные функции, не зависящие от T,
В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику
,
и исследуем первый момент построенной оценки.
Математическое ожидание построенной оценки будет следующее
Использовав соотношение (2.4), получим
где
Поскольку
следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .
Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку
где
, то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку
(2.5)
Найдем математическое ожидание построенной оценки :
где
Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .
Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4),
Видим, что
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1. Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению
,
,
при условии, что справедливо соотношение (2.4) для
При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида
(2.6)
где задаются соотношением
- 2.1.3. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса
- 4.5. Взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов
- § 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций
- Тема 13: спектральные плотности случайных процессов
- Спектральная плотность стационарного
- § 6. Спектральная плотность стационарной случайной функции
- 6.5. Спектральная плотность стационарного случайного процесса
- 38. Понятие случайного процесса. Взаимная корреляционная функция, спектральная плотность .