Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида
.
Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.
Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.
Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида
,
где .
Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида
,
где .
Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида
=,
,
при условии, что
.
Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида
где , если и , если .
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида
.
Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, , .
Заметим, что
,
.
Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение
.
Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера
тогда
Лемма доказана.
Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию
,
которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .
Смешанный момент го порядка, , можно также определить как
, , .
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, , ,
которую также будем обозначать как .
Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид
,
,
где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества
, , , , .
При
,
,
.
При
Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
.
Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления
,.
Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и
- мерная функция распределения, где
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение
где
Возьмем произвольное . Пусть , тогда
В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать
Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать
Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать
Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если и
Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида
,
при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида
при условии, что
Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение
.
Для эти соотношения примут вид
.