1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

.

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

,

при условии, что

.

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида

где , если и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , .

Заметим, что

,

.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

тогда

Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию

,

которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент го порядка, , можно также определить как

, , .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

,

,

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества

, , , , .

При

,

,

.

При

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления

,.

Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и

- мерная функция распределения, где

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение

где

Возьмем произвольное . Пусть , тогда

В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать

Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать

Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если и

Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида

,

при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида

при условии, что

Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение

.

Для эти соотношения примут вид

.